Длина одной из сторон прямоугольника равна 22. Оказалось, что его можно разрезать на маленькие прямоугольники 3 × 4. Какую наименьшую площадь может иметь большой прямоугольник? Источник: https://pndexam.ru/21-23-05-2025-priglasitelniy-etap-mat-6-klass

Давайте разберемся с задачей пошагово и подробно. **Дано:** - Одна сторона большого прямоугольника равна 22. - Его можно разрезать на маленькие прямоугольники размером 3×4. - Не указано, какая сторона равна 22, предположим, что это часть длины, чтобы определить минимальную площадь. **Задача:** Найти минимальную возможную площадь большого прямоугольника, который может быть разбит на такие небольшие прямоугольники. --- ### Шаг 1: Анализ условий Чтобы крупный прямоугольник состоял из 3×4 прямоугольников, его размеры должны быть совместимы с этими размерами. Обозначим: - Большие стороны: \(A\) и \(B\), - Известно, что одна сторона равна 22, и предположим, что \(A = 22\). --- ### Шаг 2: Определение вариантов размеров Для разбиения на 3×4 прямоугольники: - Размер большого прямоугольника должен быть размерами, кратными 3 и 4, чтобы его можно было разбить на такие маленькие прямоугольники без остатков. - Размеры прямоугольника должны быть (по крайней мере) комбинациями: \(3k\) и \(4l\), где \(k, l\) — целые числа. Поскольку одна сторона равна 22, а это не делится на 3 или 4 без остатка, то: - Эта сторона должна быть равна либо \(A=22\), либо другой стороне. --- ### Шаг 3: Проверка делимости Допустим, что сторона 22 — это \(A\). Чтобы разрезать прямоугольник на 3×4, необходимы целые количества таких маленьких прямоугольников по обеим сторонам. Обозначим: - Длина стороны \(A=22\), - Другую сторону обозначим как \(B\). Тогда: - \(A=22\) (фиксируем), - \(B\) должно быть кратным 3 или 4 или их комбинации. --- ### Шаг 4: Формулы для сторон Чтобы разрезать большой прямоугольник на 3×4, его размеры должны быть по крайней мере кратны 3 и 4, то есть: - Размеры могут быть: \(22 \times B\), - \(B\) должно быть кратным 3 или 4 (или их комбинациями). Наши варианты размера \(B\): - \(B\) делится на 3 или на 4, - и соответствуют также и другим возможным делениям. --- ### Шаг 5: Итерации по вариантам Пусть: - \(B\) делится на 3, тогда \(B = 3m\), - или делится на 4, тогда \(B=4n\). Ищем минимальную площадь \(A \times B = 22 \times B\). **Вариант 1:** \(B\) делится на 3, минимум — \(B=3\), тогда площадь = \(22 \times 3=66\). Но для этого: - 22 делится на 3? Нет — остаток 1. Тогда такой вариант не подходит, поскольку размер не будет делиться на 3 или 4 в целом. **Вариант 2:** \(B\) делится на 4, минимум — \(B=4\), тогда площадь= \(22 \times 4=88\). Проверяем: - 22 делится на 4? Нет (остаток 2) — не подходит. Значит, чтобы обеспечить делимость на 3 или 4, нужно подобрать \(B\), кратное \(B\), чтобы умножая на 22, результат однозначно делился на 3 или 4, или чтобы соотвествовал делению. --- ### Шаг 6: Общий вывод и минимизация площади Чтобы простимулировать разрезание, и площадь была минимальной, необходимо, чтобы размеры были краткими, и чтобы: - Размеры обоих сторон делились на 3 или 4. Поскольку одна сторона равна 22 (не делится ни на 3, ни на 4), тогда вторая сторона \(B\) должна быть кратной 3 или 4, и, чтобы полностью разложить на маленькие прямоугольники 3×4, requisite, что \(A\) и \(B\) — кратные 3 или 4. --- ### **ИТОГОВЫЙ ответ:** - Максимальной кратностью стороны 22 в разрезании на прямоугольники 3×4 является 12 (так как это минимальная кратность, в которой оба числа делятся — 3 и 4, ведь: \(\mathrm{НОД}(3,4)=1\), но совместное кратное — 12). - Рассмотрим сторону \(B\), кратную 12, например \(B=12\). - Итак, стороны: \(A=22\), \(B=12\). Площадь: \[ \boxed{ 22 \times 12 = 264 } \] Это — минимальная площадь прямоугольника (при условии, что одна сторона равна 22, и прямоугольник делится на куски 3×4). --- ## **Ответ:** **Минимальная площадь большого прямоугольника — 264.** Если нужно, я могу пояснить еще подробнее или расписать конкретный пример разрезания!