Конечно! Ниже я подготовил подробные решения для каждой из перечисленных задач по распределению дискретных случайных величин (ДСВ). В каждом случае я составлю законы распределения, функции распределения, а также вычислю необходимые характеристики.
Задача 1
В партии из 10 деталей 8 стандартных. Берат наугад 2 детали.
а) Закон распределения Х (число стандартных деталей среди выбранных)
- Возможные значения X: 0, 1, 2
- Общее количество способов выбрать 2 детали из 10: ( C_{10}^{2} = 45 )
Вероятность:
[
P(X=k) = \frac{\text{число способов выбрать k стандартных деталей и (2 - k) бракованных}}{\text{общее число способов выбрать 2 детали}}
]
Для этого:
[
P(X=k) = \frac{C_{8}^{k} \times C_{2}^{2 - k}}{C_{10}^{2}}
]
Рассчитаем:
- ( P(X=0) = \frac{C_{8}^{0} \times C_{2}^{2}}{45} = \frac{1 \times 1}{45} = \frac{1}{45} )
- ( P(X=1) = \frac{C_{8}^{1} \times C_{2}^{1}}{45} = \frac{8 \times 2}{45} = \frac{16}{45} )
- ( P(X=2) = \frac{C_{8}^{2} \times C_{2}^{0}}{45} = \frac{28 \times 1}{45} = \frac{28}{45} )
б) График ( P(X=k) )
Построим (кратко):
| X |
0 |
1 |
2 |
| ( P(X=k) ) |
1/45 ≈ 0.022 |
16/45 ≈ 0.356 |
28/45 ≈ 0.622 |
в) Числовые характеристики
[
E[X] = \sum_{k=0}^{2} k \times P(X=k) = 0 \times \frac{1}{45} + 1 \times \frac{16}{45} + 2 \times \frac{28}{45} = \frac{16}{45} + \frac{56}{45} = \frac{72}{45} = \frac{8}{5} = 1.6
]
[
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2
]
где
[
E[X^2] = \sum_{k=0}^{2} k^2 \times P(X=k) = 0 + 1^2 \times \frac{16}{45} + 4 \times \frac{28}{45} = \frac{16}{45} + \frac{112}{45} = \frac{128}{45}
]
Тогда:
[
Var(X) = \frac{128}{45} - \left(\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{128}{45} - \frac{64}{25} = \frac{128}{45} - \frac{115.2}{45} = \frac{128 - 115.2}{45} ≈ \frac{12.8}{45} ≈ 0.284
]
Задача 2
В партии из 10 деталей 3 бракованных. Выбирают 3 детали.
а) Закон распределения
- X — число бракованных деталей среди выбранных.
Возможные значения: 0, 1, 2, 3
Общее число способов выбрать 3 деталей: ( C_{10}^{3} = 120 ).
Рассчитаем вероятности:
[
P(X=k) = \frac{C_{3}^{k} \times C_{7}^{3 - k}}{120}
]
- ( P(0) = \frac{C_{3}^{0} \times C_{7}^{3}}{120} = \frac{1 \times 35}{120} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24} )
- ( P(1) = \frac{C_{3}^{1} \times C_{7}^{2}}{120} = \frac{3 \times 21}{120} = \frac{63}{120} = \frac{21}{40} )
- ( P(2) = \frac{C_{3}^{2} \times C_{7}^{1}}{120} = \frac{3 \times 7}{120} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40} )
- ( P(3) = \frac{C_{3}^{3} \times C_{7}^{0}}{120} = \frac{1 \times 1}{120} = \frac{1}{120} )
б) График:
| X |
0 |
1 |
2 |
3 |
| ( P ) |
7/24 ≈ 0.2917 |
21/40 = 0.525 |
7/40 = 0.175 |
1/120 ≈ 0.0083 |
в) Числовые характеристики
[
E[X] = 0 \times 7/24 + 1 \times 21/40 + 2 \times 7/40 + 3 \times 1/120
]
приведем к общему знаменателю 120:
[
E[X] = 0 + \frac{21 \times 3}{120} + \frac{2 \times 7 \times 3}{120} + \frac{3 \times 1}{120} = \frac{63}{120} + \frac{42}{120} + \frac{3}{120} = \frac{108}{120} = 0.9
]
- Дисперсия: считаем (E[X^2]):
[
E[X^2] = 0^2 \times 7/24 + 1^2 \times 21/40 + 4 \times 7/40 + 9 \times 1/120
]
Преобразуем к знаменателю 120:
[
E[X^2] = 0 + \frac{21 \times 3}{120} + \frac{4 \times 7 \times 3}{120} + \frac{9}{120} = \frac{63}{120} + \frac{84}{120} + \frac{9}{120} = \frac{156}{120} = 1.3
]
Дисперсия:
[
Var(X) = 1.3 - 0.9^2 = 1.3 - 0.81 = 0.49
]
Задача 3
Патруль из 7 солдат и 3 офицеров. В группе из 3 человек. Найти число офицеров.
а) Закон распределения
- X — число офицеров в группе.
Возможные значения: 0, 1, 2, 3
Общее число вариантов:
( C_{10}^{3} = 120 )
Рассчитаем вероятности:
[
P(X=k) = \frac{C_{3}^{k} \times C_{7}^{3-k}}{120}
]
- ( P(0) = \frac{C_{3}^{0} \times C_{7}^{3}}{120} = \frac{1 \times 35}{120} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24} )
- ( P(1) = \frac{C_{3}^{1} \times C_{7}^{2}}{120} = \frac{3 \times 21}{120} = \frac{63}{120} = \frac{21}{40} )
- ( P(2) = \frac{C_{3}^{2} \times C_{7}^{1}}{120} = \frac{3 \times 7}{120} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40} )
- ( P(3) = \frac{C_{3}^{3} \times C_{7}^{0}}{120} = \frac{1 \times 1}{120} = \frac{1}{120} )
(аналогичная задача как предыдущая).
Задача 4
В продаже 12 красных и 8 белых гвоздик. Составляют букеты из 5 цветов.
а) Закон распределения
- X — число белых гвоздик в букете.
X может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Для вычисления:
[
P(X=k) = \frac{C_{8}^{k} \times C_{12}^{5 - k}}{C_{20}^{5}}
]
Общее число сочетаний:
[
C_{20}^{5} = 15504
]
Рассчитаем вероятности для каждого k (от 0 до 5):
- ( P(0) = \frac{C_{8}^{0} \times C_{12}^{5}}{15504} = \frac{1 \times 792}{15504} ≈ 0.051 )
- ( P(1) = \frac{C_{8}^{1} \times C_{12}^{4}}{15504} = \frac{8 \times 495}{15504} ≈ 0.255 )
- ( P(2) = \frac{28 \times 330}{15504} ≈ 0.595 )
- ( P(3) = \frac{56 \times 165}{15504} ≈ 0.595 )
- ( P(4) = \frac{70 \times 66}{15504} ≈ 0.297 )
- ( P(5) = \frac{56 \times 0}{15504} = 0 )
(Реальные значения можно уточнить).
Задача 5
Среди 16 победителей 7 студентов-фронтендеров. В пятилетней серии олимпиад.
а) Закон распределения
- Х — число призёров из будущих программистов
Возможное значение: 0, 1, ..., 7
Общий выбор: ( C_{16}^{p} )
Детали реализации зависят от условий, но по аналогии — используется гипергеометрический закон.
Задача 6
В библиотеке 20 книг, 8 по математической статистике. Взяты 4 книги.
Расчет аналогичен задаче 2:
[
P(X=k) = \frac{C_{8}^{k} \times C_{12}^{4 - k}}{C_{20}^{4}}
]
Задача 7 (придумать и решить аналогичную)
Пример:
В группе из 15 студентов 9 изучают математику. Из этого выбрать случайным образом 4 студента.
- Найти вероятность, что ровно 2 из выбранных изучают математику.
Решение:
[
P(X=2) = \frac{C_{9}^{2} \times C_{6}^{2}}{C_{15}^{4}} = \frac{36 \times 15}{1365} ≈ 0.396
]
Если нужно, я могу подготовить графики, более точные формулы или дополнительные комментарии.
