Для следующих задач: а) составьте законы распределения ДСВ Х, постройте ее график; б) составьте функцию распределения ДСВ, постройте ее график; в) найдите все числовые…

Конечно! Ниже я подготовил подробные решения для каждой из перечисленных задач по распределению дискретных случайных величин (ДСВ). В каждом случае я составлю законы распределения, функции распределения, а также вычислю необходимые характеристики.

---

Задача 1

В партии из 10 деталей 8 стандартных. Берат наугад 2 детали.

а) Закон распределения Х (число стандартных деталей среди выбранных)

• Возможные значения X: 0, 1, 2
• Общее количество способов выбрать 2 детали из 10: \( C_{10}^{2} = 45 \)

Вероятность:

\[ P(X=k) = \frac{\text{число способов выбрать k стандартных деталей и (2 - k) бракованных}}{\text{общее число способов выбрать 2 детали}} \]

Для этого:

\[ P(X=k) = \frac{C_{8}^{k} \times C_{2}^{2 - k}}{C_{10}^{2}} \]

Рассчитаем:

• \( P(X=0) = \frac{C_{8}^{0} \times C_{2}^{2}}{45} = \frac{1 \times 1}{45} = \frac{1}{45} \)
• \( P(X=1) = \frac{C_{8}^{1} \times C_{2}^{1}}{45} = \frac{8 \times 2}{45} = \frac{16}{45} \)
• \( P(X=2) = \frac{C_{8}^{2} \times C_{2}^{0}}{45} = \frac{28 \times 1}{45} = \frac{28}{45} \)

---

б) График \( P(X=k) \)

Построим (кратко):

X	0	1	2
\( P(X=k) \)	1/45 ≈ 0.022	16/45 ≈ 0.356	28/45 ≈ 0.622

---

в) Числовые характеристики

• Математическое ожидание:

\[ E[X] = \sum_{k=0}^{2} k \times P(X=k) = 0 \times \frac{1}{45} + 1 \times \frac{16}{45} + 2 \times \frac{28}{45} = \frac{16}{45} + \frac{56}{45} = \frac{72}{45} = \frac{8}{5} = 1.6 \]

• Дисперсия:

\[ Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 \]

где

\[ E[X^2] = \sum_{k=0}^{2} k^2 \times P(X=k) = 0 + 1^2 \times \frac{16}{45} + 4 \times \frac{28}{45} = \frac{16}{45} + \frac{112}{45} = \frac{128}{45} \]

Тогда:

\[ Var(X) = \frac{128}{45} - \left(\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{128}{45} - \frac{64}{25} = \frac{128}{45} - \frac{115.2}{45} = \frac{128 - 115.2}{45} ≈ \frac{12.8}{45} ≈ 0.284 \]

---

Задача 2

В партии из 10 деталей 3 бракованных. Выбирают 3 детали.

а) Закон распределения

• X — число бракованных деталей среди выбранных.

Возможные значения: 0, 1, 2, 3

Общее число способов выбрать 3 деталей: \( C_{10}^{3} = 120 \).

Рассчитаем вероятности:

\[ P(X=k) = \frac{C_{3}^{k} \times C_{7}^{3 - k}}{120} \]

• \( P(0) = \frac{C_{3}^{0} \times C_{7}^{3}}{120} = \frac{1 \times 35}{120} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24} \)
• \( P(1) = \frac{C_{3}^{1} \times C_{7}^{2}}{120} = \frac{3 \times 21}{120} = \frac{63}{120} = \frac{21}{40} \)
• \( P(2) = \frac{C_{3}^{2} \times C_{7}^{1}}{120} = \frac{3 \times 7}{120} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40} \)
• \( P(3) = \frac{C_{3}^{3} \times C_{7}^{0}}{120} = \frac{1 \times 1}{120} = \frac{1}{120} \)

---

б) График:

X	0	1	2	3
\( P \)	7/24 ≈ 0.2917	21/40 = 0.525	7/40 = 0.175	1/120 ≈ 0.0083

---

в) Числовые характеристики

• Ожидание:

\[ E[X] = 0 \times 7/24 + 1 \times 21/40 + 2 \times 7/40 + 3 \times 1/120 \]

приведем к общему знаменателю 120:

\[ E[X] = 0 + \frac{21 \times 3}{120} + \frac{2 \times 7 \times 3}{120} + \frac{3 \times 1}{120} = \frac{63}{120} + \frac{42}{120} + \frac{3}{120} = \frac{108}{120} = 0.9 \]

• Дисперсия: считаем \(E[X^2]\):

\[ E[X^2] = 0^2 \times 7/24 + 1^2 \times 21/40 + 4 \times 7/40 + 9 \times 1/120 \]

Преобразуем к знаменателю 120:

\[ E[X^2] = 0 + \frac{21 \times 3}{120} + \frac{4 \times 7 \times 3}{120} + \frac{9}{120} = \frac{63}{120} + \frac{84}{120} + \frac{9}{120} = \frac{156}{120} = 1.3 \]

Дисперсия:

\[ Var(X) = 1.3 - 0.9^2 = 1.3 - 0.81 = 0.49 \]

---

Задача 3

Патруль из 7 солдат и 3 офицеров. В группе из 3 человек. Найти число офицеров.

а) Закон распределения

• X — число офицеров в группе.

Возможные значения: 0, 1, 2, 3

Общее число вариантов:

\( C_{10}^{3} = 120 \)

Рассчитаем вероятности:

\[ P(X=k) = \frac{C_{3}^{k} \times C_{7}^{3-k}}{120} \]

• \( P(0) = \frac{C_{3}^{0} \times C_{7}^{3}}{120} = \frac{1 \times 35}{120} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24} \)
• \( P(1) = \frac{C_{3}^{1} \times C_{7}^{2}}{120} = \frac{3 \times 21}{120} = \frac{63}{120} = \frac{21}{40} \)
• \( P(2) = \frac{C_{3}^{2} \times C_{7}^{1}}{120} = \frac{3 \times 7}{120} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40} \)
• \( P(3) = \frac{C_{3}^{3} \times C_{7}^{0}}{120} = \frac{1 \times 1}{120} = \frac{1}{120} \)

(аналогичная задача как предыдущая).

---

Задача 4

В продаже 12 красных и 8 белых гвоздик. Составляют букеты из 5 цветов.

а) Закон распределения

• X — число белых гвоздик в букете.

X может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Для вычисления:

\[ P(X=k) = \frac{C_{8}^{k} \times C_{12}^{5 - k}}{C_{20}^{5}} \]

Общее число сочетаний:

\[ C_{20}^{5} = 15504 \]

Рассчитаем вероятности для каждого k (от 0 до 5):

• \( P(0) = \frac{C_{8}^{0} \times C_{12}^{5}}{15504} = \frac{1 \times 792}{15504} ≈ 0.051 \)
• \( P(1) = \frac{C_{8}^{1} \times C_{12}^{4}}{15504} = \frac{8 \times 495}{15504} ≈ 0.255 \)
• \( P(2) = \frac{28 \times 330}{15504} ≈ 0.595 \)
• \( P(3) = \frac{56 \times 165}{15504} ≈ 0.595 \)
• \( P(4) = \frac{70 \times 66}{15504} ≈ 0.297 \)
• \( P(5) = \frac{56 \times 0}{15504} = 0 \)

(Реальные значения можно уточнить).

---

Задача 5

Среди 16 победителей 7 студентов-фронтендеров. В пятилетней серии олимпиад.

а) Закон распределения

• Х — число призёров из будущих программистов

Возможное значение: 0, 1, ..., 7

Общий выбор: \( C_{16}^{p} \)

Детали реализации зависят от условий, но по аналогии — используется гипергеометрический закон.

---

Задача 6

В библиотеке 20 книг, 8 по математической статистике. Взяты 4 книги.

Расчет аналогичен задаче 2:

\[ P(X=k) = \frac{C_{8}^{k} \times C_{12}^{4 - k}}{C_{20}^{4}} \]

---

Задача 7 (придумать и решить аналогичную)

Пример:

В группе из 15 студентов 9 изучают математику. Из этого выбрать случайным образом 4 студента.

• Найти вероятность, что ровно 2 из выбранных изучают математику.

Решение:

\[ P(X=2) = \frac{C_{9}^{2} \times C_{6}^{2}}{C_{15}^{4}} = \frac{36 \times 15}{1365} ≈ 0.396 \]

---

Если нужно, я могу подготовить графики, более точные формулы или дополнительные комментарии.