в) найдите все числовые характеристики этой ДСВ: 1) В партии из десяти деталей имеется восемь стандартных. Бе- рут наугад две детали. Случайная величина Х- число стандартных…

Давайте подробно решим задачу и объясним все шаги.

Задача:
В партии из 10 деталей — 8 стандартных и 2 не стандартных. Берут наугад 2 детали. Вопрос: найти все характеристические показатели случайной величины \(X\): число стандартных деталей среди выбранных.

---

Шаг 1: Определение случайной величины \(X\)

Переменная \(X\) — число стандартных деталей среди двух выбранных. Возможные значения:

\[ X = 0, 1, 2 \]

(может быть 0 — оба не стандартных, 1 — одна стандартная, 2 — обе стандартные)

---

Шаг 2: Обозначение событий и вероятностей

Общее число способов выбрать две детали из 10:

\[ \text{Общее число сочетаний} = C_{10}^{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45 \]

Где \(C_{n}^{k}\) — число сочетаний.

---

Шаг 3: Вычисление вероятностей для каждого значения \(X\)

1) Вероятность \(P(X=0)\):

Все выбранные детали — оба не стандартных.

• Количество не стандартных деталей — 2.
• Число способов выбрать 2 не стандартных: \( C_{2}^{2} = 1 \).

Общее число способов выбрать 2 детали — 45.

Следовательно,

\[ P(X=0) = \frac{C_{2}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{1}{45} \]

---

2) Вероятность \(P(X=2)\):

Обе выбранные — стандартные.

• Стандартных деталей — 8.
• Число способов выбрать 2 стандартные: \( C_{8}^{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \).

Следовательно,

\[ P(X=2) = \frac{C_{8}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{28}{45} \]

---

3) Вероятность \(P(X=1)\):

Одна стандартная и одна не стандартная.

• Выбираем 1 стандартную из 8: \( C_{8}^{1} = 8 \).
• Выбираем 1 не стандартную из 2: \( C_{2}^{1} = 2 \).

Общее число способов для этого варианта:

\[ C_{8}^{1} \times C_{2}^{1} = 8 \times 2 = 16 \]

Вероятность:

\[ P(X=1) = \frac{16}{45} \]

---

Шаг 4: Проверка суммы вероятностей

\[ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{1}{45} + \frac{16}{45} + \frac{28}{45} = \frac{45}{45} = 1 \]

Вероятности складываются в 1, что является корректным.

---

Ответ:

\[ \boxed{ \begin{aligned} &\textbf{Вероятность } P(X=0) = \frac{1}{45} \\ &\textbf{Вероятность } P(X=1) = \frac{16}{45} \\ &\textbf{Вероятность } P(X=2) = \frac{28}{45} \end{aligned} } \]

---

Дополнительные характеристики — математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание \(E[X]\):

\[ E[X] = 0 \times P(0) + 1 \times P(1) + 2 \times P(2) = 0 + 1 \times \frac{16}{45} + 2 \times \frac{28}{45} = \frac{16}{45} + \frac{56}{45} = \frac{72}{45} = \frac{8}{5} = 1.6 \]

Дисперсия \(D[X]\):

\[ D[X] = E[X^2] - (E[X])^2 \]

где

\[ E[X^2] = 0^2 \times P(0) + 1^2 \times P(1) + 2^2 \times P(2) = 0 + 1 \times \frac{16}{45} + 4 \times \frac{28}{45} = \frac{16}{45} + \frac{112}{45} = \frac{128}{45} \]

Тогда

\[ D[X] = \frac{128}{45} - \left(\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{128}{45} - \frac{64}{25} \]

Приведем к общему знаменателю 225:

\[ \frac{128}{45} = \frac{128 \times 5}{225} = \frac{640}{225} \] \[ \frac{64}{25} = \frac{64 \times 9}{225} = \frac{576}{225} \]

Следовательно,

\[ D[X] = \frac{640}{225} - \frac{576}{225} = \frac{64}{225} \]

---

Итог: все характеристики случайной величины \(X\):

\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{Вероятности:} \\ &P(X=0) = \frac{1}{45} \\ &P(X=1) = \frac{16}{45} \\ &P(X=2) = \frac{28}{45} \\ &\text{Математическое ожидание: } E[X] = 1.6 \\ &\text{Дисперсия: } D[X] = \frac{64}{225} \end{aligned} } \]

Если понадобится более подробно объяснить любой шаг — спрашивайте!