В) найдите все числовые характеристики этой ДСВ: 1) В партии из десяти деталей имеется восемь стандартных. Бе- рут наугад две детали. Случайная величина Х- число стандартных деталей среди отобранных.

Давайте подробно решим задачу и объясним все шаги. **Задача:** В партии из 10 деталей — 8 стандартных и 2 не стандартных. Берут наугад 2 детали. Вопрос: найти все характеристические показатели случайной величины \(X\): число стандартных деталей среди выбранных. --- ### Шаг 1: Определение случайной величины \(X\) Переменная \(X\) — число стандартных деталей среди двух выбранных. Возможные значения: \[ X = 0, 1, 2 \] (может быть 0 — оба не стандартных, 1 — одна стандартная, 2 — обе стандартные) --- ### Шаг 2: Обозначение событий и вероятностей Общее число способов выбрать две детали из 10: \[ \text{Общее число сочетаний} = C_{10}^{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45 \] Где \(C_{n}^{k}\) — число сочетаний. --- ### Шаг 3: Вычисление вероятностей для каждого значения \(X\) **1) Вероятность \(P(X=0)\):** Все выбранные детали — оба не стандартных. - Количество не стандартных деталей — 2. - Число способов выбрать 2 не стандартных: \( C_{2}^{2} = 1 \). Общее число способов выбрать 2 детали — 45. Следовательно, \[ P(X=0) = \frac{C_{2}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{1}{45} \] --- **2) Вероятность \(P(X=2)\):** Обе выбранные — стандартные. - Стандартных деталей — 8. - Число способов выбрать 2 стандартные: \( C_{8}^{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \). Следовательно, \[ P(X=2) = \frac{C_{8}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{28}{45} \] --- **3) Вероятность \(P(X=1)\):** Одна стандартная и одна не стандартная. - Выбираем 1 стандартную из 8: \( C_{8}^{1} = 8 \). - Выбираем 1 не стандартную из 2: \( C_{2}^{1} = 2 \). Общее число способов для этого варианта: \[ C_{8}^{1} \times C_{2}^{1} = 8 \times 2 = 16 \] Вероятность: \[ P(X=1) = \frac{16}{45} \] --- ### Шаг 4: Проверка суммы вероятностей \[ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{1}{45} + \frac{16}{45} + \frac{28}{45} = \frac{45}{45} = 1 \] Вероятности складываются в 1, что является корректным. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \begin{aligned} &\textbf{Вероятность } P(X=0) = \frac{1}{45} \\ &\textbf{Вероятность } P(X=1) = \frac{16}{45} \\ &\textbf{Вероятность } P(X=2) = \frac{28}{45} \end{aligned} } \] --- ### **Дополнительные характеристики — математическое ожидание и дисперсия** **Математическое ожидание \(E[X]\):** \[ E[X] = 0 \times P(0) + 1 \times P(1) + 2 \times P(2) = 0 + 1 \times \frac{16}{45} + 2 \times \frac{28}{45} = \frac{16}{45} + \frac{56}{45} = \frac{72}{45} = \frac{8}{5} = 1.6 \] **Дисперсия \(D[X]\):** \[ D[X] = E[X^2] - (E[X])^2 \] где \[ E[X^2] = 0^2 \times P(0) + 1^2 \times P(1) + 2^2 \times P(2) = 0 + 1 \times \frac{16}{45} + 4 \times \frac{28}{45} = \frac{16}{45} + \frac{112}{45} = \frac{128}{45} \] Тогда \[ D[X] = \frac{128}{45} - \left(\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{128}{45} - \frac{64}{25} \] Приведем к общему знаменателю 225: \[ \frac{128}{45} = \frac{128 \times 5}{225} = \frac{640}{225} \] \[ \frac{64}{25} = \frac{64 \times 9}{225} = \frac{576}{225} \] Следовательно, \[ D[X] = \frac{640}{225} - \frac{576}{225} = \frac{64}{225} \] --- ## Итог: все характеристики случайной величины \(X\): \[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{Вероятности:} \\ &P(X=0) = \frac{1}{45} \\ &P(X=1) = \frac{16}{45} \\ &P(X=2) = \frac{28}{45} \\ &\text{Математическое ожидание: } E[X] = 1.6 \\ &\text{Дисперсия: } D[X] = \frac{64}{225} \end{aligned} } \] Если понадобится более подробно объяснить любой шаг — спрашивайте!