Чтобы найти наибольшее значение функции ( y = -x^2 + 6x - 5 ) на отрезке ([1; 4]), нужно выполнить следующие шаги:
Шаг 1. Анализ функции
Это квадратичная функция, которая имеет вид:
[ y = -x^2 + 6x - 5 ]
Коэффициент перед (x^2) равен (-1), что отрицательно, значит график функции — это парабола, которая смотрит вниз, и у нее есть максимум.
Шаг 1.1. Найдем вершину параболы
Формула для координаты вершины параболы ( y = ax^2 + bx + c ) по оси (x):
[ x_{вершины} = -\frac{b}{2a} ]
Здесь:
[ a = -1, \quad b = 6 ]
Подставляем:
[ x_{вершины} = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 ]
То есть, вершина находится при (x=3).
Шаг 2. Проверка значений функции на концах отрезка и в вершине
Поскольку максимум функции — это вершина параболы и она либо внутри, либо вне заданного отрезка, нужно сравнить значения функции в точках (x=1), (x=4) и (x=3).
В точке (x=1):
[ y(1) = -1^2 + 6 \times 1 - 5 = -1 + 6 - 5 = 0 ]
В точке (x=4):
[ y(4) = -4^2 + 6 \times 4 - 5 = -16 + 24 - 5 = 3 ]
В вершине (x=3):
[ y(3) = -3^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 ]
Шаг 3. Итог
Поскольку ( y(3) = 4 ) — это самое большое значение среди трех проверенных точек на отрезке ([1; 4]), наибольшее значение функции на данном отрезке равняется 4 и достигается при (x=3).
Итог:
Ответ: Наибольшее значение функции (\boxed{4}) достигается при (x=3).
