Найдите наибольшее значение функции y = - x ^ 2 + 6x - 5 на отрезке [1; 4].

Чтобы найти наибольшее значение функции \( y = -x^2 + 6x - 5 \) на отрезке \([1; 4]\), нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1. Анализ функции

Это квадратичная функция, которая имеет вид:
\[ y = -x^2 + 6x - 5 \]

Коэффициент перед \(x^2\) равен \(-1\), что отрицательно, значит график функции — это парабола, которая смотрит вниз, и у нее есть максимум.

Шаг 1.1. Найдем вершину параболы

Формула для координаты вершины параболы \( y = ax^2 + bx + c \) по оси \(x\):
\[ x_{вершины} = -\frac{b}{2a} \]

Здесь:
\[ a = -1, \quad b = 6 \]

Подставляем:
\[ x_{вершины} = -\frac{6}{2 \times (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \]

То есть, вершина находится при \(x=3\).

Шаг 2. Проверка значений функции на концах отрезка и в вершине

Поскольку максимум функции — это вершина параболы и она либо внутри, либо вне заданного отрезка, нужно сравнить значения функции в точках \(x=1\), \(x=4\) и \(x=3\).

• В точке \(x=1\):
  \[ y(1) = -1^2 + 6 \times 1 - 5 = -1 + 6 - 5 = 0 \]

• В точке \(x=4\):
  \[ y(4) = -4^2 + 6 \times 4 - 5 = -16 + 24 - 5 = 3 \]

• В вершине \(x=3\):
  \[ y(3) = -3^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 \]

Шаг 3. Итог

Поскольку \( y(3) = 4 \) — это самое большое значение среди трех проверенных точек на отрезке \([1; 4]\), наибольшее значение функции на данном отрезке равняется 4 и достигается при \(x=3\).

Итог:

Ответ: Наибольшее значение функции \(\boxed{4}\) достигается при \(x=3\).