Реши
Давайте разберём задачу по шагам.
Задача содержит несколько частей, связанных с тригонометрическими вычислениями и преобразованиями.
1. Вычислить:
sin 110° + sin 50°
Используем формулу суммы синусов:
\[ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \]
Подставляем значения:
\[ A = 110°, \quad B = 50° \]
\[ \sin 110° + \sin 50° = 2 \sin \left(\frac{110° + 50°}{2}\right) \cos \left(\frac{110° - 50°}{2}\right) \]
Вычисляем средние значения:
\[ \frac{110° + 50°}{2} = 80°, \quad \frac{110° - 50°}{2} = 30° \]
Значит:
\[ \sin 110° + \sin 50° = 2 \sin 80° \cos 30° \]
Значения известных тригонометрических функций:
\[ \sin 80° \approx 0.985, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \]
Умножаем:
\[ 2 \times 0.985 \times 0.866 \approx 2 \times 0.852 \approx 1.704 \]
2. Вычислить:
cos 110° + cos 50°
Используем формулу суммы косинусов:
\[ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \]
Подставляем значения:
\[ A=110°, \quad B=50° \]
\[ \cos 110° + \cos 50° = 2 \cos 80° \cos 30° \]
Известные значения:
\[ \cos 80° \approx 0.174, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \]
Вычисляем:
\[ 2 \times 0.174 \times 0.866 \approx 2 \times 0.151 \approx 0.302 \]
3. Вычислить выражение:
\[ \frac{\sin 30° - \sin 10°}{\cos 110° + \cos 50°} \]
Значения:
\[ \sin 30° = 0.5, \quad \sin 10° \approx 0.174, \quad \cos 110° \approx -0.342, \quad \cos 50° \approx 0.643 \]
Подставляем:
\[ \frac{0.5 - 0.174}{-0.342 + 0.643} = \frac{0.326}{0.301} \approx 1.082 \]
4. Вывести результат в виде дроби:
\[ \frac{0.326}{0.301} \approx \frac{326}{301} \]
Эта дробь несократимая, приближённо равна \(\frac{326}{301}\).
Итоговые ответы:
- \(\sin 110° + \sin 50° \approx 1.704\)
- \(\cos 110° + \cos 50° \approx 0.302\)
- \(\frac{\sin 30° - \sin 10°}{\cos 110° + \cos 50°} \approx \frac{326}{301} \approx 1.082\)
Если нужно более точное или приближённое численное значение — скажите!
