Реши номер 3,4,5
Конечно! Вот подробное решение для задач 3, 4 и 5:
Задача 3
Вычислить:
\[
\sin 10^\circ - \sin 30^\circ
\]
Пошаговое решение:
Знаем стандартные значения:
\[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]Используем формулу разности синусов:
\[ \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} \]Подставляем \(A = 10^\circ\), \(B = 30^\circ\):
\[ \sin 10^\circ - \sin 30^\circ = 2 \cos \frac{10^\circ + 30^\circ}{2} \sin \frac{10^\circ - 30^\circ}{2} \]
- Вычисляем средние значения:
\[ \frac{10^\circ + 30^\circ}{2} = 20^\circ \] \[ \frac{10^\circ - 30^\circ}{2} = -10^\circ \]
- Тогда выражение становится:
\[ = 2 \cos 20^\circ \sin (-10^\circ) \]
- Знаем, что \(\sin (-x) = - \sin x\), значит:
\[ = 2 \cos 20^\circ \cdot (- \sin 10^\circ) = -2 \cos 20^\circ \sin 10^\circ \]
Итог:
\[ \boxed{ \sin 10^\circ - \sin 30^\circ = -2 \cos 20^\circ \sin 10^\circ } \]
Задача 4
Вычислить:
\[
\cos 140^\circ + \cos 80^\circ
\]
Пошаговое решение:
Используем формулу суммы косинусов:
\[ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \]Подставляем \(A=140^\circ\), \(B=80^\circ\):
\[ = 2 \cos \frac{140^\circ + 80^\circ}{2} \cos \frac{140^\circ - 80^\circ}{2} \]
- Вычисляем средние значения:
\[ \frac{140^\circ + 80^\circ}{2} = 110^\circ \] \[ \frac{140^\circ - 80^\circ}{2} = 30^\circ \]
- Итак:
\[ = 2 \cos 110^\circ \cos 30^\circ \]
- Знаем, что \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Для \(\cos 110^\circ\), используем свойство \(\cos (180^\circ - x) = - \cos x\):
\[ \cos 110^\circ = - \cos 70^\circ \]
- Значения: \(\cos 70^\circ\) — приблизительно \(0,3420\). Тогда:
\[ \cos 110^\circ \approx -0,3420 \]
- И, наконец:
\[ = 2 \times (-0,3420) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -0,3420 \times \sqrt{3} \]
Итог:
\[ \boxed{ \cos 140^\circ + \cos 80^\circ = - \cos 70^\circ \times \sqrt{3} } \]
Задача 5
Вычислить:
\[
\frac{\sin 20^\circ}{\sin 10^\circ}
\]
Пошаговое решение:
Используем отношение синусов.
Можно выразить \(\sin 20^\circ\) через \(\sin 10^\circ\) с помощью формулы двойного угла:
\[ \sin 20^\circ = 2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ \]
- Подставим в выражение:
\[ \frac{2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ}{\sin 10^\circ} \]
- \(\sin 10^\circ\) в числителе и знаменателе сокращаются:
\[ = 2 \cos 10^\circ \]
Итог:
\[ \boxed{ \frac{\sin 20^\circ}{\sin 10^\circ} = 2 \cos 10^\circ } \]
Если нужны дополнительные объяснения или есть другие задачи, пишите!
