Давайте разберём задачу пошагово и подробно:
Задача:
Известно, что из клетчатого прямоугольника размером (10 \times n) по линиям сетки можно вырезать ровно 275 разных прямоугольников размера (1 \times 2) (то есть доминошек). Нужно найти значение (n).
Шаг 1: Что означает «вырезать прямоугольник 1×2»?
Это значит, что мы можем выбрать место, где горизонтально или вертикально расположится «доминошка» из двух соседних клеток.
Шаг 2: Ищем способ подсчёта количества прямоугольников 1×2
- В каждом прямоугольнике (10 \times n) количество таких «доминошек» зависит от того, как расположена линия разделения.
- Однако по формулировке, нас интересует общее количество способов выбрать именно один такой прямоугольник, то есть выбираем одну пару соседних клеток (по горизонтали или вертикали).
Шаг 3: Подсчёт количества возможных мест для 1×2 на сетке
Горизонтальные пары:
- В каждом из (10 \times n) рядов есть ((n - 1)) возможных горизонтальных пар (между соседними клетками).
- Всего горизонтальных пар: (10 \times (n - 1)).
Вертикальные пары:
- В каждом из (n) столбцов есть ((10 - 1) = 9) вертикальных пар, так как между соседними клетками по вертикали.
- Всего вертикальных пар: (n \times 9).
Общее количество пар (всех возможных 1×2) — сумма горизонтальных и вертикальных:
[
\text{Общее количество} = 10(n - 1) + 9n
]
Шаг 4: Используем известное число — 275
Задача говорит, что их ровно 275, следовательно:
[
10(n - 1) + 9n = 275
]
Равно как:
[
10n - 10 + 9n = 275
]
Объединим похожие слагаемые:
[
19n - 10 = 275
]
Решаем по переменной (n):
[
19n = 285
]
[
n = \frac{285}{19} = 15
]
Ответ:
[
\boxed{n = 15}
]
Если вы хотите, я могу подробно объяснить каждый шаг или помочь с дополнительными вопросами!
