Действительные числа х1,х2,х3,х4, таковы х1+х2+х3+х4=6 и 1/x2+x3+x4 + 2/x1+x3+x4 + 3/x1+x2+x4 + 4/x1+x2+x3 =15. Чему равно значение выражения x1/x2+x3+x4 + 2X2/x1+x3+x4 + 3X3/x1+x2+x4 + 4X4/x1+x2+x3 ?

Давайте внимательно разберемся с задачей. ### Дано: - \(x_1, x_2, x_3, x_4\) — действительные числа. - Сумма: \[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6 \] - Имеется выражение: \[ \frac{1}{x_2 + x_3 + x_4} + \frac{2}{x_1 + x_3 + x_4} + \frac{3}{x_1 + x_2 + x_4} + \frac{4}{x_1 + x_2 + x_3} = 15 \] Также необходимо найти значение выражения: \[ \frac{x_1}{x_2 + x_3 + x_4} + \frac{2x_2}{x_1 + x_3 + x_4} + \frac{3x_3}{x_1 + x_2 + x_4} + \frac{4x_4}{x_1 + x_2 + x_3} \] --- ### Шаг 1: Вводим суммы Обозначим: \[ S_i = \text{сумма всех } x_j, \text{кроме } x_i \] То есть: \[ S_1 = x_2 + x_3 + x_4, \quad S_2 = x_1 + x_3 + x_4, \quad S_3 = x_1 + x_2 + x_4, \quad S_4 = x_1 + x_2 + x_3 \] Известно, что сумма всех четырёх переменных равна 6: \[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 6 \] Обратите внимание: \[ S_1 = 6 - x_1, \quad S_2 = 6 - x_2, \quad S_3 = 6 - x_3, \quad S_4 = 6 - x_4 \] --- ### Шаг 2: Перепишем условие Дано: \[ \frac{1}{S_1} + \frac{2}{S_2} + \frac{3}{S_3} + \frac{4}{S_4} = 15 \] --- ### Шаг 3: Выражение, которое нужно найти Искомое выражение: \[ \frac{x_1}{S_1} + \frac{2x_2}{S_2} + \frac{3x_3}{S_3} + \frac{4x_4}{S_4} \] Обратим внимание: \[ x_1 = 6 - S_1, \quad x_2 = 6 - S_2, \quad x_3 = 6 - S_3, \quad x_4 = 6 - S_4 \] Подставим это в искомый объект: \[ \frac{6 - S_1}{S_1} + \frac{2(6 - S_2)}{S_2} + \frac{3(6 - S_3)}{S_3} + \frac{4(6 - S_4)}{S_4} \] Раскроем скобки: \[ = \frac{6}{S_1} - 1 + \frac{12}{S_2} - 2 + \frac{18}{S_3} - 3 + \frac{24}{S_4} - 4 \] Общая сумма: \[ = \left(\frac{6}{S_1} + \frac{12}{S_2} + \frac{18}{S_3} + \frac{24}{S_4}\right) - (1+2+3+4) = \left(\frac{6}{S_1} + \frac{12}{S_2} + \frac{18}{S_3} + \frac{24}{S_4}\right) - 10 \] --- ### Шаг 4: Связь с известным выражением Заметим, что: \[ \frac{1}{S_1} + \frac{2}{S_2} + \frac{3}{S_3} + \frac{4}{S_4} = 15 \] А искомая сумма — это: \[ 6 \cdot \frac{1}{S_1} + 12 \cdot \frac{1}{S_2} + 18 \cdot \frac{1}{S_3} + 24 \cdot \frac{1}{S_4} \] То есть: \[ \frac{6}{S_1} + \frac{12}{S_2} + \frac{18}{S_3} + \frac{24}{S_4} = 6 \cdot \frac{1}{S_1} + 12 \cdot \frac{1}{S_2} + 18 \cdot \frac{1}{S_3} + 24 \cdot \frac{1}{S_4} \] Это — множители старого выражения, умноженные на соответствующие коэффициенты: 6, 12, 18, 24. Обратим внимание на соотношения: - 6 = \(1 \times 6\) - 12 = \(2 \times 6\) - 18 = \(3 \times 6\) - 24 = \(4 \times 6\) Следовательно: \[ 6 \cdot \frac{1}{S_1} + 12 \cdot \frac{1}{S_2} + 18 \cdot \frac{1}{S_3} + 24 \cdot \frac{1}{S_4} = 6 \left(\frac{1}{S_1} + \frac{2}{S_2} + \frac{3}{S_3} + \frac{4}{S_4}\right) \] И так как известно, что: \[ \frac{1}{S_1} + \frac{2}{S_2} + \frac{3}{S_3} + \frac{4}{S_4} = 15 \] Тогда: \[ 6 \left(\frac{1}{S_1} + \frac{2}{S_2} + \frac{3}{S_3} + \frac{4}{S_4}\right) = 6 \times 15 = 90 \] --- ### Итог: Искомое выражение: \[ \left(\frac{6}{S_1} + \frac{12}{S_2} + \frac{18}{S_3} + \frac{24}{S_4}\right) - 10 = 90 - 10 = 80 \] **Ответ:** \[ \boxed{80} \] --- Если нужны дополнительные пояснения, я с радостью помогу!