Шарик и Бобик бросают игральную кость, каждый по два раза, выигрывает тот у кого выпавшая сумма очков меньше,. Первым бросал кость Шарик
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним все моменты.
Задача:
Шарик и Бобик бросают игральную кость по два раза. Выигрывает тот, у кого сумма очков меньше. Первый бросает Шарик. Нужно определить шансы каждого на победу, если это предполагаемый вопрос.
Шаг 1. Какие варианты у каждого?
Каждый из них бросает кость два раза. Значит, у каждого есть сумма двух чисел от 2 до 12 (значения — сумма двух бросков).
Шаг 2. Распределение вероятностей суммы двух бросков
Для двух обычных шестигранных костей возможна следующая сумма:
| Сумма | Количество способов | Вероятность (число способов / 36) |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 1/36 |
| 3 | 2 | 2/36 |
| 4 | 3 | 3/36 |
| 5 | 4 | 4/36 |
| 6 | 5 | 5/36 |
| 7 | 6 | 6/36 |
| 8 | 5 | 5/36 |
| 9 | 4 | 4/36 |
| 10 | 3 | 3/36 |
| 11 | 2 | 2/36 |
| 12 | 1 | 1/36 |
Это стандартные вероятности для суммы двух бросков.
Шаг 3. Пусть \( S_S \) — сумма, выпавшая Шарику, а \( S_B \) — сумма Бобика.
Шарик бросает первым, затем Бобик.
Задача: определить вероятность того, что \( S_S < S_B \). То есть, что сумма Шарика меньше суммы Бобика.
Шаг 4. Анализ ситуации
Поскольку броски независимы, вероятности для каждого — известные, и вероятности для комбинаций — произведение.
Вероятность, что Шарик получил сумму \( s \):
\[ P(S_S = s) = \text{вероятность получить сумму } s \]
Аналогично для Бобика (\( S_B \)).
Шаг 5. Вычисление вероятности \( P(S_S < S_B) \)
Это сумма вероятностей всех пар \((s, s')\), таких что \( s < s' \):
\[ P(S_S < S_B) = \sum_{s=2}^{12} \sum_{s' = s+1}^{12} P(S_S = s) \times P(S_B = s') \]
Где \( P(S_S = s) \) и \( P(S_B = s') \) — из таблицы вероятностей.
Шаг 6. Расчёты
Давайте последовательно вычислим.
Обозначим:
\[ p_s = P(S = s) \]
для \( s = 2, 3, \ldots, 12 \).
Из таблицы:
\[ p_2 = \frac{1}{36}, \quad p_3 = \frac{2}{36}, \quad p_4 = \frac{3}{36}, \quad p_5 = \frac{4}{36}, \quad p_6 = \frac{5}{36}, \quad p_7 = \frac{6}{36}, \quad p_8 = \frac{5}{36}, \quad p_9 = \frac{4}{36}, \quad p_{10} = \frac{3}{36}, \quad p_{11} = \frac{2}{36}, \quad p_{12} = \frac{1}{36} \]
Шаг 7. Находим сумму \( P(S_S < S_B) \):
\[ P(S_S < S_B) = \sum_{s=2}^{12} p_s \times \left( \sum_{s' = s+1}^{12} p_{s'} \right) \]
Посчитаем поэлементно:
- Для \( s=2 \):
\[ \sum_{s' =3}^{12} p_{s'} = p_3 + p_4 + p_5 + p_6 + p_7 + p_8 + p_9 + p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{35}{36} \]
Тогда вклад:
\[ p_2 \times \frac{35}{36} = \frac{1}{36} \times \frac{35}{36} = \frac{35}{1296} \]
- Для \( s=3 \):
\[ \sum_{s'=4}^{12} p_{s'} = p_4 + p_5 + p_6 + p_7 + p_8 + p_9 + p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{33}{36} \]
Вклад:
\[ p_3 \times \frac{33}{36} = \frac{2}{36} \times \frac{33}{36} = \frac{66}{1296} \]
- Для \( s=4 \):
\[ p_5 + p_6 + p_7 + p_8 + p_9 + p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{30}{36} \]
Вклад:
\[ p_4 \times \frac{30}{36} = \frac{3}{36} \times \frac{30}{36} = \frac{90}{1296} \]
- Для \( s=5 \):
\[ p_6 + p_7 + p_8 + p_9 + p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{26}{36} \]
Вклад:
\[ p_5 \times \frac{26}{36} = \frac{4}{36} \times \frac{26}{36} = \frac{104}{1296} \]
- Для \( s=6 \):
\[ p_7 + p_8 + p_9 + p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{21}{36} \]
Вклад:
\[ p_6 \times \frac{21}{36} = \frac{5}{36} \times \frac{21}{36} = \frac{105}{1296} \]
- Для \( s=7 \):
\[ p_8 + p_9 + p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{5+4+3+2+1}{36} = \frac{15}{36} \]
Вклад:
\[ p_7 \times \frac{15}{36} = \frac{6}{36} \times \frac{15}{36} = \frac{90}{1296} \]
- Для \( s=8 \):
\[ p_9 + p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{4+3+2+1}{36} = \frac{10}{36} \]
Вклад:
\[ p_8 \times \frac{10}{36} = \frac{5}{36} \times \frac{10}{36} = \frac{50}{1296} \]
- Для \( s=9 \):
\[ p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{3+2+1}{36} = \frac{6}{36} \]
Вклад:
\[ p_9 \times \frac{6}{36} = \frac{4}{36} \times \frac{6}{36} = \frac{24}{1296} \]
- Для \( s=10 \):
\[ p_{11} + p_{12} = \frac{2+1}{36} = \frac{3}{36} \]
Вклад:
\[ p_{10} \times \frac{3}{36} = \frac{3}{36} \times \frac{3}{36} = \frac{9}{1296} \]
- Для \( s=11 \):
\[ p_{12} = \frac{1}{36} \]
и
\[ \sum_{s' = 12}^{12} p_{s'} = p_{12} = \frac{1}{36} \]
Вклад:
\[ p_{11} \times p_{12} = \frac{2}{36} \times \frac{1}{36} = \frac{2}{1296} \]
- Для \( s=12 \):
\(\) — тут уже ничего не добавить, потому что \( s' \) должно быть больше 12.
Итоговая сумма:
\[ P(S_S < S_B) = \frac{35 + 66 + 90 + 104 + 105 + 90 + 50 + 24 + 9 + 2}{1296} \]
Сумма числителей:
\[ 35 + 66 = 101 \\ 101 + 90 = 191 \\ 191 + 104 = 295 \\ 295 + 105 = 400 \\ 400 + 90 = 490 \\ 490 + 50 = 540 \\ 540 + 24 = 564 \\ 564 + 9 = 573 \\ 573 + 2 = 575 \]
Следовательно,
\[ P(S_S < S_B) = \frac{575}{1296} \]
или примерно:
\[ \boxed{ P(S_S < S_B) \approx 0.443 } \]
Итог:
Вероятность того, что сумма очков Шарика меньше суммы Бобика, примерно 44,3%.
Если нужно, я могу помочь с вычислением вероятности других исходов или более подробно объяснить процесс!
