Шарик и Бобик бросают игральную кость, каждый по два раза, выигрывает тот у кого выпавшая сумма очков меньше,. Первым бросал кость Шарик

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним все моменты. **Задача:** Шарик и Бобик бросают игральную кость по два раза. Выигрывает тот, у кого сумма очков меньше. Первый бросает Шарик. Нужно определить шансы каждого на победу, если это предполагаемый вопрос. --- ### Шаг 1. Какие варианты у каждого? Каждый из них бросает кость два раза. Значит, у каждого есть сумма двух чисел от 2 до 12 (значения — сумма двух бросков). ### Шаг 2. Распределение вероятностей суммы двух бросков Для двух обычных шестигранных костей возможна следующая сумма: | Сумма | Количество способов | Вероятность (число способов / 36) | |---------|-------------------|----------------------------------| | 2 | 1 | 1/36 | | 3 | 2 | 2/36 | | 4 | 3 | 3/36 | | 5 | 4 | 4/36 | | 6 | 5 | 5/36 | | 7 | 6 | 6/36 | | 8 | 5 | 5/36 | | 9 | 4 | 4/36 | | 10 | 3 | 3/36 | | 11 | 2 | 2/36 | | 12 | 1 | 1/36 | Это стандартные вероятности для суммы двух бросков. --- ### Шаг 3. Пусть \( S_S \) — сумма, выпавшая Шарику, а \( S_B \) — сумма Бобика. Шарик бросает первым, затем Бобик. **Задача:** определить вероятность того, что \( S_S < S_B \). То есть, что сумма Шарика меньше суммы Бобика. --- ### Шаг 4. Анализ ситуации Поскольку броски независимы, вероятности для каждого — известные, и вероятности для комбинаций — произведение. Вероятность, что Шарик получил сумму \( s \): \[ P(S_S = s) = \text{вероятность получить сумму } s \] Аналогично для Бобика (\( S_B \)). ### Шаг 5. Вычисление вероятности \( P(S_S < S_B) \) Это сумма вероятностей всех пар \((s, s')\), таких что \( s < s' \): \[ P(S_S < S_B) = \sum_{s=2}^{12} \sum_{s' = s+1}^{12} P(S_S = s) \times P(S_B = s') \] Где \( P(S_S = s) \) и \( P(S_B = s') \) — из таблицы вероятностей. --- ### Шаг 6. Расчёты Давайте последовательно вычислим. Обозначим: \[ p_s = P(S = s) \] для \( s = 2, 3, \ldots, 12 \). Из таблицы: \[ p_2 = \frac{1}{36}, \quad p_3 = \frac{2}{36}, \quad p_4 = \frac{3}{36}, \quad p_5 = \frac{4}{36}, \quad p_6 = \frac{5}{36}, \quad p_7 = \frac{6}{36}, \quad p_8 = \frac{5}{36}, \quad p_9 = \frac{4}{36}, \quad p_{10} = \frac{3}{36}, \quad p_{11} = \frac{2}{36}, \quad p_{12} = \frac{1}{36} \] --- ### Шаг 7. Находим сумму \( P(S_S < S_B) \): \[ P(S_S < S_B) = \sum_{s=2}^{12} p_s \times \left( \sum_{s' = s+1}^{12} p_{s'} \right) \] Посчитаем поэлементно: 1. Для \( s=2 \): \[ \sum_{s' =3}^{12} p_{s'} = p_3 + p_4 + p_5 + p_6 + p_7 + p_8 + p_9 + p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{35}{36} \] Тогда вклад: \[ p_2 \times \frac{35}{36} = \frac{1}{36} \times \frac{35}{36} = \frac{35}{1296} \] 2. Для \( s=3 \): \[ \sum_{s'=4}^{12} p_{s'} = p_4 + p_5 + p_6 + p_7 + p_8 + p_9 + p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{33}{36} \] Вклад: \[ p_3 \times \frac{33}{36} = \frac{2}{36} \times \frac{33}{36} = \frac{66}{1296} \] 3. Для \( s=4 \): \[ p_5 + p_6 + p_7 + p_8 + p_9 + p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{30}{36} \] Вклад: \[ p_4 \times \frac{30}{36} = \frac{3}{36} \times \frac{30}{36} = \frac{90}{1296} \] 4. Для \( s=5 \): \[ p_6 + p_7 + p_8 + p_9 + p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{26}{36} \] Вклад: \[ p_5 \times \frac{26}{36} = \frac{4}{36} \times \frac{26}{36} = \frac{104}{1296} \] 5. Для \( s=6 \): \[ p_7 + p_8 + p_9 + p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{21}{36} \] Вклад: \[ p_6 \times \frac{21}{36} = \frac{5}{36} \times \frac{21}{36} = \frac{105}{1296} \] 6. Для \( s=7 \): \[ p_8 + p_9 + p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{5+4+3+2+1}{36} = \frac{15}{36} \] Вклад: \[ p_7 \times \frac{15}{36} = \frac{6}{36} \times \frac{15}{36} = \frac{90}{1296} \] 7. Для \( s=8 \): \[ p_9 + p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{4+3+2+1}{36} = \frac{10}{36} \] Вклад: \[ p_8 \times \frac{10}{36} = \frac{5}{36} \times \frac{10}{36} = \frac{50}{1296} \] 8. Для \( s=9 \): \[ p_{10} + p_{11} + p_{12} = \frac{3+2+1}{36} = \frac{6}{36} \] Вклад: \[ p_9 \times \frac{6}{36} = \frac{4}{36} \times \frac{6}{36} = \frac{24}{1296} \] 9. Для \( s=10 \): \[ p_{11} + p_{12} = \frac{2+1}{36} = \frac{3}{36} \] Вклад: \[ p_{10} \times \frac{3}{36} = \frac{3}{36} \times \frac{3}{36} = \frac{9}{1296} \] 10. Для \( s=11 \): \[ p_{12} = \frac{1}{36} \] и \[ \sum_{s' = 12}^{12} p_{s'} = p_{12} = \frac{1}{36} \] Вклад: \[ p_{11} \times p_{12} = \frac{2}{36} \times \frac{1}{36} = \frac{2}{1296} \] 11. Для \( s=12 \): \(\) — тут уже ничего не добавить, потому что \( s' \) должно быть больше 12. --- ### Итоговая сумма: \[ P(S_S < S_B) = \frac{35 + 66 + 90 + 104 + 105 + 90 + 50 + 24 + 9 + 2}{1296} \] Сумма числителей: \[ 35 + 66 = 101 \\ 101 + 90 = 191 \\ 191 + 104 = 295 \\ 295 + 105 = 400 \\ 400 + 90 = 490 \\ 490 + 50 = 540 \\ 540 + 24 = 564 \\ 564 + 9 = 573 \\ 573 + 2 = 575 \] Следовательно, \[ P(S_S < S_B) = \frac{575}{1296} \] или примерно: \[ \boxed{ P(S_S < S_B) \approx 0.443 } \] --- ### **Итог:** Вероятность того, что сумма очков Шарика меньше суммы Бобика, примерно **44,3%**. --- Если нужно, я могу помочь с вычислением вероятности других исходов или более подробно объяснить процесс!