Задание: Имеется выборка, содержащая 15 числовых значений некоторого признака случайной величины Х. Построить: 1) статистическое распределение выборки; 2) полигон частот; 3) эмпирическую функцию распре- деления; 4) интервальный ряд; 5) гистограмму частот; вычислить: 6) выборочную среднюю; 7) выборочную дисперсию; 8) выборочное среднее квадрати- ческое отклонение; 9) моду; 10) медиану. 14. Х 15 10 3 19 15 10 28 15 3 10 15 19 10 24 10

Давайте поэтапно решим вашу задачу, объясняя каждый шаг. Объем задания довольно большой, поэтому я делаю акцент на понятных объяснениях и пошаговых расчетах. Предположим, что параметры игнорируются и мы работаем с выборкой из 15 чисел. --- ### Исходные данные: Выборка: **X:** 15, 10, 3, 19, 15, 10, 28, 15, 3, 10, 15, 19, 10, 24, 10 --- ## 1. Построение статистического распределения выборки Это просто подсчет, сколько раз встречается каждое значение. | Значение | Частота (число повторений) | |------------|----------------------------| | 3 | 2 | | 10 | 5 | | 15 | 4 | | 19 | 2 | | 24 | 1 | | 28 | 1 | --- ## 2. Построение полигон частот Полигон частот — это график, соединяющий точки, соответствующие частотам на уровнях значений. Для построения: - Отметьте значения по оси X. - Отметьте частоты по оси Y. - Постройте точки на координатах (значение, частота). - Соедините точки линией. Точки: - (3, 2) - (10, 5) - (15, 4) - (19, 2) - (24, 1) - (28, 1) --- ## 3. Эмпирическая функция распределения (ЭФР) ЭФР — это кумулятивная частота, деленная на общее число элементов (15). Построим таблицу: | Значение | Частота | Кумулятивная частота | ЭФР (F(x)) | |------------|----------|----------------------|------------| | 3 | 2 | 2 | 2/15 ≈ 0.133 | | 10 | 5 | 7 (2+5) | 7/15 ≈ 0.467 | | 15 | 4 | 11 (7+4) | 11/15 ≈ 0.733 | | 19 | 2 | 13 (11+2) | 13/15 ≈ 0.867 | | 24 | 1 | 14 (13+1) | 14/15 ≈ 0.933 | | 28 | 1 | 15 (14+1) | 15/15=1 | ЭФР — целесообразно изображается как ступенчатая кривая. --- ## 4. Интервальный ряд Интервальный ряд — группировка данных по интервалам. Например, можно выбрать интервалы: | Интервал | Количество элементов | |------------------|----------------------| | 0 — 10 | 6 (10, 3, 10, 3, 10, 10) | | 10 — 20 | 7 (15, 19, 15, 15, 19, 15, 15) | | 20 — 30 | 2 (24, 28) | Или чуть подробнее: - 0–10: числа 3, 3, 10, 10, 10, 10 (6) - 10–20: 15, 15, 15, 15, 19, 19 (6) - 20–30: 24, 28 (2) Обратите внимание, что по интервалам — удобно для частотных анализов, в т. ч. гистограмм. --- ## 5. Гистограмма частот Гистограмма — это график, где по оси X — интервалы, а по Y — высоты (частоты). Он соответствует интервалам и их частотам. --- ## 6. Выборочная средняя (математическое ожидание выборки) Формула: \[ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \] Подсчитаем сумму чисел: 15 + 10 + 3 + 19 + 15 + 10 + 28 + 15 + 3 + 10 + 15 + 19 + 10 + 24 + 10 = Посчитаем пошагово: - 15 + 10 = 25 - 25 + 3 = 28 - 28 + 19 = 47 - 47 + 15 = 62 - 62 + 10 = 72 - 72 + 28 = 100 - 100 + 15 = 115 - 115 + 3 = 118 - 118 + 10 = 128 - 128 + 15 = 143 - 143 + 19 = 162 - 162 + 10 = 172 - 172 + 24 = 196 - 196 + 10 = 206 Общая сумма = **206** Количество элементов, n = 15 Среднее: \[ \bar{x} = \frac{206}{15} \approx 13.73 \] --- ## 7. Выборочная дисперсия Формула: \[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \] Вычислим отклонения каждого значения: | Значение | \(x_i\) | \(x_i - \bar{x}\) | \((x_i - \bar{x})^2\) | |------------|---------|-------------------|------------------------| | 15 | 15 | 15 - 13.73 ≈ 1.27 | 1.61 | | 10 | 10 | 10 - 13.73 ≈ -3.73| 13.92 | | 3 | 3 | 3 - 13.73 ≈ -10.73| 115.12 | | 19 | 19 | 19 - 13.73 ≈ 5.27 | 27.79 | | 15 | 15 | 1.27 | 1.61 | | 10 | 10 | -3.73 | 13.92 | | 28 | 28 | 28 - 13.73 ≈ 14.27| 203.76 | | 15 | 15 | 1.27 | 1.61 | | 3 | 3 | -10.73 | 115.12 | | 10 | 10 | -3.73 | 13.92 | | 15 | 15 | 1.27 | 1.61 | | 19 | 19 | 5.27 | 27.79 | | 10 | 10 | -3.73 | 13.92 | | 24 | 24 | 24 - 13.73 ≈ 10.27| 105.58 | | 10 | 10 | -3.73 | 13.92 | Теперь сложим все квадраты: 1.61 + 13.92 + 115.12 + 27.79 + 1.61 + 13.92 + 203.76 + 1.61 + 115.12 + 13.92 + 1.61 + 27.79 + 13.92 + 105.58 +13.92 ≈ Посчитаем сумму: - 1.61 + 13.92 = 15.53 - + 115.12 = 130.65 - + 27.79 = 158.44 - + 1.61 = 160.05 - + 13.92 = 173.97 - + 203.76 = 377.73 - + 1.61 = 379.34 - + 115.12 = 494.46 - + 13.92 = 508.38 - + 1.61 = 509.99 - + 27.79 = 537.78 - + 13.92 = 551.70 - + 105.58= 657.28 - + 13.92= 671.20 Теперь, дисперсия: \[ s^2 = \frac{671.20}{15 -1} = \frac{671.20}{14} \approx 47.94 \] --- ## 8. Выборочное среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение): \[ s = \sqrt{s^2} \approx \sqrt{47.94} \approx 6.93 \] --- ## 9. Мода Значение, встречающееся наиболее часто. Из таблицы частот: - 10 — 5 раз - 15 — 4 раза - остальные — менее. **Мода:** **10** --- ## 10. Медиана Когда значения отсортированы в порядке возрастания: 3, 3, 10, 10, 10, 10, 15, 15, 15, 15, 19, 19, 24, 28 Всего 15 элементов, медиана — это 8-й по порядку элемент: Отсортируем данные полностью: 3, 3, 10, 10, 10, 10, 15, **15**, 15, 15, 19, 19, 24, 28 По порядку значение 15 — это 8-й элемент. **Медиана:** **15** --- ## Итоговые результаты: | Параметр | Значение | |----------|----------| | Средняя | ≈ 13.73 | | Дисперсия | ≈ 47.94 | | Стандартное отклонение | ≈ 6.93 | | Мода | 10 | | Медиана | 15 | --- Если нужно, можно дополнительно построить графики или объяснить подробнее любой шаг.