Задание: Имеется выборка, содержащая 15 числовых значений некоторого признака случайной величины Х. Построить: 1) статистическое распределение выборки; 2) полигон частот; 3)…

Давайте поэтапно решим вашу задачу, объясняя каждый шаг. Объем задания довольно большой, поэтому я делаю акцент на понятных объяснениях и пошаговых расчетах. Предположим, что параметры игнорируются и мы работаем с выборкой из 15 чисел.

---

Исходные данные:

Выборка:
X: 15, 10, 3, 19, 15, 10, 28, 15, 3, 10, 15, 19, 10, 24, 10

---

1. Построение статистического распределения выборки

Это просто подсчет, сколько раз встречается каждое значение.

Значение	Частота (число повторений)
3	2
10	5
15	4
19	2
24	1
28	1

---

2. Построение полигон частот

Полигон частот — это график, соединяющий точки, соответствующие частотам на уровнях значений. Для построения:

• Отметьте значения по оси X.
• Отметьте частоты по оси Y.
• Постройте точки на координатах (значение, частота).
• Соедините точки линией.

Точки:

• (3, 2)
• (10, 5)
• (15, 4)
• (19, 2)
• (24, 1)
• (28, 1)

---

3. Эмпирическая функция распределения (ЭФР)

ЭФР — это кумулятивная частота, деленная на общее число элементов (15). Построим таблицу:

Значение	Частота	Кумулятивная частота	ЭФР (F(x))
3	2	2	2/15 ≈ 0.133
10	5	7 (2+5)	7/15 ≈ 0.467
15	4	11 (7+4)	11/15 ≈ 0.733
19	2	13 (11+2)	13/15 ≈ 0.867
24	1	14 (13+1)	14/15 ≈ 0.933
28	1	15 (14+1)	15/15=1

ЭФР — целесообразно изображается как ступенчатая кривая.

---

4. Интервальный ряд

Интервальный ряд — группировка данных по интервалам. Например, можно выбрать интервалы:

Интервал	Количество элементов
0 — 10	6 (10, 3, 10, 3, 10, 10)
10 — 20	7 (15, 19, 15, 15, 19, 15, 15)
20 — 30	2 (24, 28)

Или чуть подробнее:

• 0–10: числа 3, 3, 10, 10, 10, 10 (6)
• 10–20: 15, 15, 15, 15, 19, 19 (6)
• 20–30: 24, 28 (2)

Обратите внимание, что по интервалам — удобно для частотных анализов, в т. ч. гистограмм.

---

5. Гистограмма частот

Гистограмма — это график, где по оси X — интервалы, а по Y — высоты (частоты). Он соответствует интервалам и их частотам.

---

6. Выборочная средняя (математическое ожидание выборки)

Формула:
\[ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \]

Подсчитаем сумму чисел:

15 + 10 + 3 + 19 + 15 + 10 + 28 + 15 + 3 + 10 + 15 + 19 + 10 + 24 + 10 =

Посчитаем пошагово:

• 15 + 10 = 25
• 25 + 3 = 28
• 28 + 19 = 47
• 47 + 15 = 62
• 62 + 10 = 72
• 72 + 28 = 100
• 100 + 15 = 115
• 115 + 3 = 118
• 118 + 10 = 128
• 128 + 15 = 143
• 143 + 19 = 162
• 162 + 10 = 172
• 172 + 24 = 196
• 196 + 10 = 206

Общая сумма = 206

Количество элементов, n = 15

Среднее:
\[ \bar{x} = \frac{206}{15} \approx 13.73 \]

---

7. Выборочная дисперсия

Формула:
\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \]

Вычислим отклонения каждого значения:

Значение	\(x_i\)	\(x_i - \bar{x}\)	\((x_i - \bar{x})^2\)
15	15	15 - 13.73 ≈ 1.27	1.61
10	10	10 - 13.73 ≈ -3.73	13.92
3	3	3 - 13.73 ≈ -10.73	115.12
19	19	19 - 13.73 ≈ 5.27	27.79
15	15	1.27	1.61
10	10	-3.73	13.92
28	28	28 - 13.73 ≈ 14.27	203.76
15	15	1.27	1.61
3	3	-10.73	115.12
10	10	-3.73	13.92
15	15	1.27	1.61
19	19	5.27	27.79
10	10	-3.73	13.92
24	24	24 - 13.73 ≈ 10.27	105.58
10	10	-3.73	13.92

Теперь сложим все квадраты:

1.61 + 13.92 + 115.12 + 27.79 + 1.61 + 13.92 + 203.76 + 1.61 + 115.12 + 13.92 + 1.61 + 27.79 + 13.92 + 105.58 +13.92 ≈

Посчитаем сумму:

• 1.61 + 13.92 = 15.53
• • 115.12 = 130.65
• • 27.79 = 158.44
• • 1.61 = 160.05
• • 13.92 = 173.97
• • 203.76 = 377.73
• • 1.61 = 379.34
• • 115.12 = 494.46
• • 13.92 = 508.38
• • 1.61 = 509.99
• • 27.79 = 537.78
• • 13.92 = 551.70
• • 105.58= 657.28
• • 13.92= 671.20

Теперь, дисперсия:
\[ s^2 = \frac{671.20}{15 -1} = \frac{671.20}{14} \approx 47.94 \]

---

8. Выборочное среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение):

\[ s = \sqrt{s^2} \approx \sqrt{47.94} \approx 6.93 \]

---

9. Мода

Значение, встречающееся наиболее часто.
Из таблицы частот:

• 10 — 5 раз
• 15 — 4 раза
• остальные — менее.

Мода: 10

---

10. Медиана

Когда значения отсортированы в порядке возрастания:

3, 3, 10, 10, 10, 10, 15, 15, 15, 15, 19, 19, 24, 28

Всего 15 элементов, медиана — это 8-й по порядку элемент:

Отсортируем данные полностью:

3, 3, 10, 10, 10, 10, 15, 15, 15, 15, 19, 19, 24, 28

По порядку значение 15 — это 8-й элемент.

Медиана: 15

---

Итоговые результаты:

Параметр	Значение
Средняя	≈ 13.73
Дисперсия	≈ 47.94
Стандартное отклонение	≈ 6.93
Мода	10
Медиана	15

---

Если нужно, можно дополнительно построить графики или объяснить подробнее любой шаг.