Реши первое и второе задание

Конечно! Вот решение первых двух задач:

Задача 1

Дано: \(\cos \alpha = \frac{1}{41}\).
Нужно найти: \(\sin \alpha\) и \(\tg \alpha\).

Решение:

1. Из тригонометрического тождества \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), подставим \(\cos \alpha = \frac{1}{41}\): \[ \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{41}\right)^2 = 1 - \frac{1}{1681} \]
2. Приведем к общему знаменателю: \[ \sin^2 \alpha = \frac{1681}{1681} - \frac{1}{1681} = \frac{1680}{1681} \]
3. Тогда: \[ \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{1680}}{41} \]
4. Выбираем знак в зависимости от условий (в общем случае можно оставить знак "минус" или "плюс").
5. Далее, для нахождения \(\tg \alpha\): \[ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm \frac{\sqrt{1680}}{41}}{\frac{1}{41}} = \pm \sqrt{1680} \]

Ответ: \[ \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{1680}}{41}, \quad \tg \alpha = \pm \sqrt{1680} \]

Задача 2

Дано: В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 52, один из катетов — 20.
Нужно найти: \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) меньшего острого угла.

Решение:

1. Обозначим:
   \[ \text{Гипотенуза} = 52, \quad \text{один катет} = 20 \]
2. Тогда второй катет \(b\) находится по теореме Пифагора: \[ b = \sqrt{52^2 - 20^2} = \sqrt{2704 - 400} = \sqrt{2304} = 48 \]
3. Теперь, для угла, напротив которого лежит катет 20:

• \(\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\textю гипотенуза} = \frac{20}{52} = \frac{5}{13}\)

• \(\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}\)

• \(\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{20}{48} = \frac{5}{12}\)

Ответ: \[ \sin \alpha = \frac{5}{13}, \quad \cos \alpha = \frac{12}{13}, \quad \tan \alpha = \frac{5}{12} \]

Если нужен развернутый вариант или пояснения — скажите!