Рассмотрим задачу: за 1 секунду сила тока в проводнике равномерно возрастает от 0 до 6 А, необходимо найти количество электричества (заряда), прошедшего через поперечное сечение в этот промежуток времени.
Шаг 1: Определение условий задачи
- Время, ( t = 1, \text{с} ).
- Начальный ток, ( I_{нач} = 0, \text{А} ).
- Конечный ток, ( I_{кон} = 6, \text{А} ).
- Ток возрастает равномерно, значит он меняется линейно с течением времени.
Шаг 2: Запишем зависимость тока от времени
Поскольку ток изменяется равномерно, его зависимость от времени описывается прямой линией:
[
I(t) = I_{нач} + \frac{I_{кон} - I_{нач}}{t_{общ}} \times t
]
Здесь ( t_{общ} = 1, \text{с} ), поэтому:
[
I(t) = 0 + \frac{6 - 0}{1} \times t = 6t
]
Шаг 3: Формула для количества электричества
Количество электричества, прошедшее через сечение за время ( t ), равно интегралу тока по времени:
[
Q = \int_{0}^{t} I(t) , dt
]
Подставим выражение для тока:
[
Q = \int_{0}^{1} 6t , dt
]
Шаг 4: Вычисление интеграла
Интегральное выражение:
[
Q = 6 \int_{0}^{1} t , dt
]
Число интеграла:
[
\int t , dt = \frac{t^2}{2}
]
Следовательно:
[
Q = 6 \times \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = 6 \times \left( \frac{1^2}{2} - 0 \right) = 6 \times \frac{1}{2} = 3, \text{Кл}
]
Ответ:
Количество электричества, прошедшее через поперечное сечение проводника за 1 секунду при равномерном росте тока от 0 до 6 А, равно 3 кулона.
