Решить
Давайте подробно разберем каждую из задач.
Задача 1:
\[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3 \cos^2 x \, dx \]
Шаг 1. Используем тригонорму для \(\cos^2 x\).
Известное тождество: \[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \]
Подставляем: \[ 3 \cos^2 x = 3 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{3}{2} (1 + \cos 2x) \]
Шаг 2. Перепишем интеграл: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3 \cos^2 x \, dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{3}{2} (1 + \cos 2x) \, dx \]
Шаг 3. Распределяем: \[ = \frac{3}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx + \frac{3}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx \]
Шаг 4. Вычисляем первый интеграл: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \left[ x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \pi \]
Шаг 5. Второй интеграл: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \]
Подставим границы: \[ = \frac{\sin 2 \cdot \frac{\pi}{2}}{2} - \frac{\sin 2 \cdot (-\frac{\pi}{2})}{2} = \frac{\sin \pi}{2} - \frac{\sin (-\pi)}{2} \]
\(\sin \pi = 0\), \(\sin (-\pi) = 0\), поэтому: \[ = 0 - 0 = 0 \]
Шаг 6. Итог: \[ \frac{3}{2} \cdot \pi + \frac{3}{2} \cdot 0 = \frac{3}{2} \pi \]
Ответ к первой задаче:
\[ \boxed{\frac{3\pi}{2}} \]
Задача 2:
\[ \int_{1}^{8} \left( 3 \sqrt{x} - \frac{2}{3} x \right) dx \]
Шаг 1. Разобьем интеграл на две части: \[ \int_{1}^{8} 3 \sqrt{x} \, dx - \int_{1}^{8} \frac{2}{3} x \, dx \]
Шаг 2. Запишем каждую отдельно.
- Первая: \[ \int 3 \sqrt{x} \, dx = 3 \int x^{1/2} dx \]
- Вторая: \[ \int \frac{2}{3} x \, dx \]
Шаг 3. Вычисляем первую:
Используем формулу интегралов для степенных функций: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \]
Значит: \[ \int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{3/2} \]
Итак: \[ 3 \int x^{1/2} dx = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = 2 x^{3/2} \]
Шаг 4. Вычисляем второе: \[ \int \frac{2}{3} x dx = \frac{2}{3} \int x dx = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{3} \]
Шаг 5. Запишем итог:
\[ \left[ 2 x^{3/2} - \frac{x^2}{3} \right]_{1}^{8} \]
Шаг 6. Подставим границы:
- Верхняя граница \(x=8\): \[ 2 \cdot 8^{3/2} - \frac{8^2}{3} \]
Рассчитаем \(8^{3/2}\):
\[ 8^{3/2} = (8^{1/2})^3 = (\sqrt{8})^3 \]
\(\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}\), значит:
\[ (2 \sqrt{2})^3 = 2^3 (\sqrt{2})^3 = 8 \cdot (2^{1/2})^3 \]
\((\sqrt{2})^3 = (2^{1/2})^3 = 2^{3/2}\)
Следовательно,Qtбнем сюда:
\[ = 8 \cdot 2^{3/2} \]
Но проще — явно посчитать:
\[ 8^{3/2} = (8^{1/2})^3 = (\sqrt{8})^3 = (2 \sqrt{2})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = 8 \cdot 2^{3/2} \]
Гибко: \[ 8^{3/2} = (8^{1/2})^3 = (\sqrt{8})^3 \approx (2.828)^3 \approx 2.828^3 \]
Но лучше оставить в виде: \[ 8^{3/2} = 8 \sqrt{8} \]
Потому что: \[ 8^{3/2} = 8 \cdot \sqrt{8} = 8 \cdot 2 \sqrt{2} = 16 \sqrt{2} \]
Тогда: \[ 2 \cdot 8^{3/2} = 2 \cdot 16 \sqrt{2} = 32 \sqrt{2} \]
- Вторая часть: \[ \frac{8^2}{3} = \frac{64}{3} \]
Получаем: \[ \text{Верхняя граница: } 32 \sqrt{2} - \frac{64}{3} \]
- Нижняя граница \(x=1\): \[ 2 \cdot 1^{3/2} - \frac{1^2}{3} = 2 \cdot 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \]
Шаг 7. Итоговый ответ:
\[ \left( 32 \sqrt{2} - \frac{64}{3} \right) - \frac{5}{3} = 32 \sqrt{2} - \frac{64}{3} - \frac{5}{3} = 32 \sqrt{2} - \frac{69}{3} = 32 \sqrt{2} - 23 \]
Ответ ко второй задаче:
\[ \boxed{32 \sqrt{2} - 23} \]
Если что-то нужно дополнительно объяснить или уточнить — задавайте!
