(x+10)²=(5-x)²

Давайте подробно решим уравнение \((x + 10)^2 = (5 - x)^2\), чтобы понять, как находить его решения.

Шаг 1: Раскроем скобки.

Используем формулу квадрата суммы и разности:

• \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

Поскольку у нас уже есть квадраты, мы их раскроем:

\[ (x + 10)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = x^2 + 20x + 100 \] \[ (5 - x)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + x^2 = 25 - 10x + x^2 \]

Теперь уравнение записывается так:

\[ x^2 + 20x + 100 = x^2 + 25 - 10x \]

Шаг 2: Упростим уравнение, убрав одинаковые слагаемые:

Вычтем \(x^2\) с обеих частей:

\[ 20x + 100 = 25 - 10x \]

Шаг 3: Решим полученное линейное уравнение:

Перенесем все слагаемые с \(x\) в одну сторону и числа — в другую:

\[ 20x + 10x = 25 - 100 \]

\[ 30x = -75 \]

Шаг 4: Найдём \(x\):

\[ x = \frac{-75}{30} = -\frac{75}{30} = -\frac{5}{2} = -2.5 \]

Ответ: \(x = -\frac{5}{2}\) или \(-2.5\).

Пояснение, почему уравнение даёт только одно решение:

Из-за того, что обе стороны возведены в квадрат, у этого уравнения могут быть два решения. Однако, при раскрытии и упрощении мы получили линейное уравнение, которое даёт только одно решение – это означает, что \(x = -2.5\).

Для уверенности можно проверить, подставляя обратно:

\[ (x + 10)^2 \quad \text{и} \quad (5 - x)^2 \]

подставим \(x = -2.5\):

\[ (-2.5 + 10)^2 = (7.5)^2 = 56.25 \] \[ (5 - (-2.5))^2 = (7.5)^2 = 56.25 \]

Они равны, значит, решение верное.

Итого: решение уравнения — \(\boxed{x = -\frac{5}{2}}\).