Решить

Давайте вместе решим данное уравнение:
\[ 9x^2 + 24x + 16 = (x - 2)^2 \]

Шаг 1. Раскроем скобки справа

\( (x - 2)^2 \) — это квадрат двучлена, который раскрывается по формуле: \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

Применим это к \( (x - 2)^2 \): \[ (x - 2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4 \]

Шаг 2. Перенесем все в левую часть уравнения

Запишем уравнение с раскрытыми скобками: \[ 9x^2 + 24x + 16 = x^2 - 4x + 4 \]

Перенесем правую часть в левую: \[ 9x^2 + 24x + 16 - x^2 + 4x - 4 = 0 \]

Теперь сгруппируем подобные члены: \[ (9x^2 - x^2) + (24x + 4x) + (16 - 4) = 0 \] \[ 8x^2 + 28x + 12 = 0 \]

Шаг 3. Упростим уравнение

Все коэффициенты делятся на 4: \[ 2x^2 + 7x + 3 = 0 \]

Теперь у нас обычное квадратичное уравнение: \[ 2x^2 + 7x + 3 = 0 \]

Шаг 4. Решим квадратичное уравнение

Используем формулу для корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 2 \), \( b = 7 \), \( c = 3 \).

Посчитаем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \]

Корень из дискриминанта: \[ \sqrt{D} = \sqrt{25} = 5 \]

Теперь найдем корни: \[ x_1 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3 \]

Итог:

Ответ: \[ x_1 = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = -3 \]

Если нужно, запишите ответы по порядку возрастания: Ответ в порядке возрастания: \(-3, -\frac{1}{2}\).