Определите однозначные непрерывные ветви обратной функции у = 2х/1 − х
Давайте поэтапно решим задачу: определить однозначные непрерывные ветви обратной функции функции \( y = \frac{2x}{1 - x} \).
Шаг 1. Запишем исходную функцию
\[ y = \frac{2x}{1 - x} \]
Нам нужно найти обратную функцию \( x = f^{-1}(y) \).
Шаг 2. Находим область определения исходной функции
Обращаю ваше внимание, что выражение в знаменателе — \( 1 - x \) — не должно равняться нулю:
\[ 1 - x \neq 0 \implies x \neq 1 \]
Также, поскольку функция задана на всех \( x \neq 1 \), то область определения функции:
\[ D_f: \mathbb{R} \setminus \{1\} \]
Шаг 3. Находим обратную функцию
Чтобы найти \( x \) через \( y \), решим уравнение:
\[ y = \frac{2x}{1 - x} \]
Перенесем все в уравнение и выразим \( x \):
\[ y(1 - x) = 2x \]
Раскроем скобки:
\[ y - yx = 2x \]
Перенесем все с \( x \) в левую часть:
\[ y = 2x + yx \]
Вынесем \( x \) за скобки:
\[ y = x(2 + y) \]
Решим относительно \( x \):
\[ x = \frac{y}{2 + y} \]
Это — обратная функция:
\[ x = f^{-1}(y) = \frac{y}{2 + y} \]
Шаг 4. Анализ области определения обратной функции
Обратная функция:
\[ x = \frac{y}{2 + y} \]
Чтобы определить, где эта функция является однозначной и непрерывной, рассчитаем её область определения.
Выражение делит на \( 2 + y \), которое не должно быть равно нулю:
\[ 2 + y \neq 0 \implies y \neq -2 \]
Область определения \( y \):
\[ R_{f^{-1}}: \mathbb{R} \setminus \{-2\} \]
Шаг 5. Анализ строгости и непрерывности
Обратная функция — это рациональное выражение, непрерывное на её области определения, за исключением точки разрыва \( y = -2 \).
Теперь посмотрим, что происходит при приближении \( y \to -2 \):
\( x = \frac{y}{2 + y} \) — при \( y \to -2^+ \), знаменатель стремится к нулю, а числитель к \( -2 \). Значит, \( x \to -\infty \).
При \( y \to -2^- \), аналогично — \( x \to +\infty \).
Итак, у функции есть разрыв типа асимптоты при \( y = -2 \).
Шаг 6. Непрерывные ветви
Чтобы определить однозначные и непрерывные ветви обратной функции:
Область исходной функции \( y = \frac{2x}{1 - x} \) — вся \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).
Область обратной функции — \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \).
В этой области обратная функция — непрерывна.
Шаг 7. Связь с графиками
Обратная функция является отражением графика исходной функции по линии \( y = x \).
Для однозначных ветвей:
- Функция \( f(x) \) монотонна на своих определённых участках.
Рассмотрим монотонность исходной функции:
- Вычислим ее производную:
\[ y = \frac{2x}{1 - x} \]
Пусть \( f(x) = \frac{2x}{1 - x} \):
\[ f'(x) = \frac{(2)(1 - x) - 2x(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{2(1 - x) + 2x}{(1 - x)^2} = \frac{2 - 2x + 2x}{(1 - x)^2} = \frac{2}{(1 - x)^2} \]
Поскольку \((1 - x)^2 > 0\) для \(x \neq 1\), то:
\[ f'(x) > 0 \quad \text{для всех}\ x \neq 1 \]
Значит, исходная функция — строго возрастает на всей своей области определения.
ИТОГ:
Область определения функции: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \).
Область определения обратной функции: \( y \in \mathbb{R} \setminus \{-2\} \).
Область однозначных непрерывных ветвей:
- \( f^{-1}(y) = \frac{y}{2 + y} \), которая — строго монотонна, непрерывна на \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \).
Непрерывна на каждом из интервалов:
- \( (-\infty, -2) \) и \( (-2, +\infty) \).
Таким образом, обратная функция имеет две непрерывные однозначные ветви:
- Первая ветвь:
\[ y \in (-\infty, -2), \quad x = \frac{y}{2 + y} \]
- Вторая ветвь:
\[ y \in (-2, +\infty), \quad x = \frac{y}{2 + y} \]
Если нужно, я могу более подробно рассказать про графики или конкретные свойства.
