Определите однозначные непрерывные ветви обратной функции у = 2х/1 − х

Давайте поэтапно решим задачу: определить однозначные непрерывные ветви обратной функции функции \( y = \frac{2x}{1 - x} \). --- ## Шаг 1. Запишем исходную функцию \[ y = \frac{2x}{1 - x} \] Нам нужно найти обратную функцию \( x = f^{-1}(y) \). --- ## Шаг 2. Находим область определения исходной функции Обращаю ваше внимание, что выражение в знаменателе — \( 1 - x \) — не должно равняться нулю: \[ 1 - x \neq 0 \implies x \neq 1 \] Также, поскольку функция задана на всех \( x \neq 1 \), то область определения функции: \[ D_f: \mathbb{R} \setminus \{1\} \] --- ## Шаг 3. Находим обратную функцию Чтобы найти \( x \) через \( y \), решим уравнение: \[ y = \frac{2x}{1 - x} \] Перенесем все в уравнение и выразим \( x \): \[ y(1 - x) = 2x \] Раскроем скобки: \[ y - yx = 2x \] Перенесем все с \( x \) в левую часть: \[ y = 2x + yx \] Вынесем \( x \) за скобки: \[ y = x(2 + y) \] Решим относительно \( x \): \[ x = \frac{y}{2 + y} \] Это — обратная функция: \[ x = f^{-1}(y) = \frac{y}{2 + y} \] --- ## Шаг 4. Анализ области определения обратной функции Обратная функция: \[ x = \frac{y}{2 + y} \] Чтобы определить, где эта функция является однозначной и непрерывной, рассчитаем её область определения. Выражение делит на \( 2 + y \), которое не должно быть равно нулю: \[ 2 + y \neq 0 \implies y \neq -2 \] Область определения \( y \): \[ R_{f^{-1}}: \mathbb{R} \setminus \{-2\} \] --- ## Шаг 5. Анализ строгости и непрерывности Обратная функция — это рациональное выражение, непрерывное на её области определения, за исключением точки разрыва \( y = -2 \). Теперь посмотрим, что происходит при приближении \( y \to -2 \): - \( x = \frac{y}{2 + y} \) — при \( y \to -2^+ \), знаменатель стремится к нулю, а числитель к \( -2 \). Значит, \( x \to -\infty \). - При \( y \to -2^- \), аналогично — \( x \to +\infty \). Итак, у функции есть разрыв типа асимптоты при \( y = -2 \). --- ## **Шаг 6. Непрерывные ветви** Чтобы определить **однозначные и непрерывные ветви** обратной функции: - Область исходной функции \( y = \frac{2x}{1 - x} \) — вся \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \). - Область обратной функции — \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \). - В этой области обратная функция — непрерывна. --- ## **Шаг 7. Связь с графиками** Обратная функция является отражением графика исходной функции по линии \( y = x \). Для однозначных ветвей: - Функция \( f(x) \) монотонна на своих определённых участках. Рассмотрим монотонность исходной функции: - Вычислим ее производную: \[ y = \frac{2x}{1 - x} \] Пусть \( f(x) = \frac{2x}{1 - x} \): \[ f'(x) = \frac{(2)(1 - x) - 2x(-1)}{(1 - x)^2} = \frac{2(1 - x) + 2x}{(1 - x)^2} = \frac{2 - 2x + 2x}{(1 - x)^2} = \frac{2}{(1 - x)^2} \] Поскольку \((1 - x)^2 > 0\) для \(x \neq 1\), то: \[ f'(x) > 0 \quad \text{для всех}\ x \neq 1 \] Значит, исходная функция — строго возрастает на всей своей области определения. --- ## **ИТОГ:** - **Область определения функции:** \( x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \). - **Область определения обратной функции:** \( y \in \mathbb{R} \setminus \{-2\} \). - **Область однозначных непрерывных ветвей:** - \( f^{-1}(y) = \frac{y}{2 + y} \), которая — строго монотонна, непрерывна на \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \). - **Непрерывна на каждом из интервалов:** - \( (-\infty, -2) \) и \( (-2, +\infty) \). **Таким образом, обратная функция имеет две непрерывные однозначные ветви:** - **Первая ветвь:** \[ y \in (-\infty, -2), \quad x = \frac{y}{2 + y} \] - **Вторая ветвь:** \[ y \in (-2, +\infty), \quad x = \frac{y}{2 + y} \] --- Если нужно, я могу более подробно рассказать про графики или конкретные свойства.