y=x^4-5x^2+4/(x-1)(x+2) Реши и построй график

Давайте подробно решим и построим график функции:

\[ y = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{(x-1)(x+2)}. \]

Шаг 1. Анализ числителя и знаменателя

• Числитель: \(x^4 - 5x^2 + 4\).
• Знаменатель: \((x-1)(x+2)\).

Чтобы понять поведение функции, сначала упростим ее, разложив числитель, если это возможно.

Шаг 2. Разложение числителя

Рассмотрим \(x^4 - 5x^2 + 4\).

Обозначим \(z = x^2\), тогда:

\[ x^4 - 5x^2 + 4 = z^2 - 5z + 4. \]

Это квадратное уравнение относительно \(z\):

\[ z^2 - 5z + 4, \]

раскладываем на множители:

\[ z^2 - 5z + 4 = (z - 4)(z - 1). \]

Вернемся к \(x\):

\[ z = x^2, \]

следовательно,

\[ x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 4)(x^2 - 1). \]

Теперь разложим далее:

• \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\),
• \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\).

Итог:

\[ x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1). \]

Шаг 3. Общее выражение функции

Подставим разложение в функцию:

\[ y = \frac{(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 2)}. \]

Обратите внимание, что в числителе и знаменателе есть общие множители:

• \((x - 1)\),
• \((x + 2)\).

При \(x \neq 1\) и \(x \neq -2\), можем сократить:

\[ y = \frac{(x - 2)(x + 1)}{1} = (x - 2)(x + 1). \]

Это — частное выражение функции.

Шаг 4. Исключения (асимптоты и области определения)

• При \(x = 1\), исходное выражение не определено, потому что есть деление на ноль.
• При \(x = -2\), тоже деление на ноль.

Это вертикальные асимптоты:

• \(x = 1\),
• \(x = -2\).

Шаг 5. Итоговая формула

Для всех остальных значений:

\[ y = (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2. \]

Шаг 6. Построение графика

• Вне точек \(x=1\) и \(x=-2\) график — это парабола \(y = x^2 - x - 2\).
• В точках \(x=1\) и \(x=-2\) есть вертикальные асимптоты, где график расходится к бесконечности.

Проверка:

• В точке \(x=0\):

\[ y = 0^2 - 0 - 2 = -2, \] что совпадает с подстановкой в исходное выражение:

\[ \frac{0^4 - 5\cdot 0^2 + 4}{(0-1)(0+2)} = \frac{4}{-1 \cdot 2} = \frac{4}{-2} = -2, \] т.е. функция и её частное выражение совпадают для этого значения.

Итоговая инструкция для построения графика:

1. Построить параболу \(y = x^2 - x - 2\).
2. Провести вертикальные асимптоты через \(x=1\) и \(x=-2\).
3. В точках \(x=1\) и \(x=-2\) график расходится к бесконечности.

---

Если нужно, я могу помочь с построением графика графического редактора или дать более детальное описание.