Вопрос от Анонимного юзера 23 мая 2025 12:28

Question 1

Y=x^4-5x^2+4/(x-1)(x+2) Реши и построй график

Answer

Давайте подробно решим и построим график функции:

[ y = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{(x-1)(x+2)}. ]

Шаг 1. Анализ числителя и знаменателя

Числитель: (x^4 - 5x^2 + 4).
Знаменатель: ((x-1)(x+2)).

Чтобы понять поведение функции, сначала упростим ее, разложив числитель, если это возможно.

Шаг 2. Разложение числителя

Рассмотрим (x^4 - 5x^2 + 4).

Обозначим (z = x^2), тогда:

[ x^4 - 5x^2 + 4 = z^2 - 5z + 4. ]

Это квадратное уравнение относительно (z):

[ z^2 - 5z + 4, ]

раскладываем на множители:

[ z^2 - 5z + 4 = (z - 4)(z - 1). ]

Вернемся к (x):

[ z = x^2, ]

следовательно,

[ x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 4)(x^2 - 1). ]

Теперь разложим далее:

(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)),
(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)).

Итог:

[ x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1). ]

Шаг 3. Общее выражение функции

Подставим разложение в функцию:

[ y = \frac{(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 2)}. ]

Обратите внимание, что в числителе и знаменателе есть общие множители:

((x - 1)),
((x + 2)).

При (x \neq 1) и (x \neq -2), можем сократить:

[ y = \frac{(x - 2)(x + 1)}{1} = (x - 2)(x + 1). ]

Это — частное выражение функции.

Шаг 4. Исключения (асимптоты и области определения)

При (x = 1), исходное выражение не определено, потому что есть деление на ноль.
При (x = -2), тоже деление на ноль.

Это вертикальные асимптоты:

(x = 1),
(x = -2).

Шаг 5. Итоговая формула

Для всех остальных значений:

[ y = (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2. ]

Шаг 6. Построение графика

Вне точек (x=1) и (x=-2) график — это парабола (y = x^2 - x - 2).
В точках (x=1) и (x=-2) есть вертикальные асимптоты, где график расходится к бесконечности.

Проверка:

В точке (x=0):

[ y = 0^2 - 0 - 2 = -2, ] что совпадает с подстановкой в исходное выражение:

[ \frac{0^4 - 5\cdot 0^2 + 4}{(0-1)(0+2)} = \frac{4}{-1 \cdot 2} = \frac{4}{-2} = -2, ] т.е. функция и её частное выражение совпадают для этого значения.

Итоговая инструкция для построения графика:

Построить параболу (y = x^2 - x - 2).
Провести вертикальные асимптоты через (x=1) и (x=-2).
В точках (x=1) и (x=-2) график расходится к бесконечности.

Если нужно, я могу помочь с построением графика графического редактора или дать более детальное описание.

Question 2

y=x^4-5x^2+4/(x-1)(x+2) Реши и построй график

Answer

Давайте подробно решим и построим график функции: \[ y = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{(x-1)(x+2)}. \] ### Шаг 1. Анализ числителя и знаменателя - **Числитель:** \(x^4 - 5x^2 + 4\). - **Знаменатель:** \((x-1)(x+2)\). Чтобы понять поведение функции, сначала упростим ее, разложив числитель, если это возможно. ### Шаг 2. Разложение числителя Рассмотрим \(x^4 - 5x^2 + 4\). Обозначим \(z = x^2\), тогда: \[ x^4 - 5x^2 + 4 = z^2 - 5z + 4. \] Это квадратное уравнение относительно \(z\): \[ z^2 - 5z + 4, \] раскладываем на множители: \[ z^2 - 5z + 4 = (z - 4)(z - 1). \] Вернемся к \(x\): \[ z = x^2, \] следовательно, \[ x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 4)(x^2 - 1). \] Теперь разложим далее: - \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\), - \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). Итог: \[ x^4 - 5x^2 + 4 = (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1). \] ### Шаг 3. Общее выражение функции Подставим разложение в функцию: \[ y = \frac{(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 2)}. \] Обратите внимание, что в числителе и знаменателе есть общие множители: - \((x - 1)\), - \((x + 2)\). При \(x \neq 1\) и \(x \neq -2\), можем сократить: \[ y = \frac{(x - 2)(x + 1)}{1} = (x - 2)(x + 1). \] Это — **частное выражение функции**. ### Шаг 4. Исключения (асимптоты и области определения) - При \(x = 1\), исходное выражение не определено, потому что есть деление на ноль. - При \(x = -2\), тоже деление на ноль. Это **вертикальные асимптоты**: - \(x = 1\), - \(x = -2\). ### Шаг 5. Итоговая формула Для всех остальных значений: \[ y = (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2. \] ### Шаг 6. Построение графика - Вне точек \(x=1\) и \(x=-2\) график — это парабола \(y = x^2 - x - 2\). - В точках \(x=1\) и \(x=-2\) есть вертикальные асимптоты, где график расходится к бесконечности. #### Проверка: - В точке \(x=0\): \[ y = 0^2 - 0 - 2 = -2, \] что совпадает с подстановкой в исходное выражение: \[ \frac{0^4 - 5\cdot 0^2 + 4}{(0-1)(0+2)} = \frac{4}{-1 \cdot 2} = \frac{4}{-2} = -2, \] т.е. функция и её частное выражение совпадают для этого значения. ### Итоговая инструкция для построения графика: 1. Построить параболу \(y = x^2 - x - 2\). 2. Провести вертикальные асимптоты через \(x=1\) и \(x=-2\). 3. В точках \(x=1\) и \(x=-2\) график расходится к бесконечности. --- Если нужно, я могу помочь с построением графика графического редактора или дать более детальное описание.