Построй график с оформлением огэ y=x^4-5x^2+4/(x-1)(x+2)

Для построения графика функции \[ y = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{(x - 1)(x + 2)} \] нужно выполнить несколько шагов: ### Шаг 1: Анализ области определения Область определения функции — это все значения \(x\), для которых выражение не делит на ноль. Знаки знаменателя \((x - 1)(x + 2)\) равны нулю при: \[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -2 \] Это значит, что в точках \(x=1\) и \(x=-2\) есть вертикальные асимптоты, и график функции не определён. **Область определения:** \( x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, +\infty) \). --- ### Шаг 2: Анализ поведения при \(\ x \to \pm \infty \) - При больших значениях \(x\) числитель ведёт себя как \(x^4\), а делитель как \(x^2\), поэтому: \[ y \sim \frac{x^4}{x^2} = x^2 \to +\infty \] - Следовательно, при \(x \to \pm \infty\), \(y \to +\infty\). ### Шаг 3: Нули функции (кресты) Нули функции — это решения уравнения \( y=0 \): \[ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \] Рассмотрим отдельно: \[ x^4 - 5x^2 + 4=0 \] Обозначим \( t = x^2 \), тогда: \[ t^2 - 5t + 4=0 \] Решим квадратичное уравнение: \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Значит: \[ t_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4,\quad t_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \] Поскольку \(t=x^2 \geq 0\), то: - Для \(t=4\), \(x = \pm 2\), - Для \(t=1\), \(x= \pm 1\). **Это — точки, в которых график пересекает ось \(x\):** \[ x = -2,\, -1,\, 1,\, 2 \] --- ### Шаг 4: Поведение функции около вертикальных асимптот Поскольку делитель равен нулю при \(x= -2\) и \(x=1\), нужно определить направления бесконечности функции там: - При \(x \to -2^-\), знаменатель \(\to 0^-\), числитель при \(x \to -2\): \[ (-2)^4 -5(-2)^2 +4 = 16 - 20 +4=0 \] Но надо исследовать знак ближе к точке: \[ x \to -2^- \quad \implies \quad (x+2)<0, \quad \text{знаковир } y \to \pm \infty \] — вычислив знак, можно уточнить направление асимптот. Аналогично для \(x \to -2^+\), \(x \to 1^-\) и \(x \to 1^+\). --- ### Шаг 5: Построение графика Общий план: - Построить оси, отметить точки \(-2, -1, 1, 2\). - Провести вертикальные асимптоты в \(x=-2\) и \(x=1\). - Отметить поведение функции при больших \(x\): график уходит вверх. - учитывать нули функции в \(x=-2, -1, 1, 2\). - Анализировать поведение между важными точками. --- ### Итоговая рекомендация: - Построить на графике вертикальные асимптоты в \(x=-2\) и \(x=1\). - Показать нули функции. - Построить характерные части графика, учитывая поведение при \(x \to \pm \infty\), а также межу этими точками. --- Если нужно, я могу помочь с построением этого графика в виде чертежа или с более детальной аналитикой!