Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

Давайте подробно решим задачу шаг за шагом. ### Входные данные: - Путешествие по реке от пункта А до пункта В (расстояние = L). - Из пункта А в пункт В идет плот. - Из пункта В в пункт А — катер, движущийся навстречу плот. - Скорость катера в неподвижной воде: \( v_c \). - Скорость течения реки: \( v_r \). - Условие: скорость катера в стоячей воде в 4 раза больше скорости течения, т.е.: \[ v_c = 4 v_r. \] ### Цель: Определить, какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту, когда катер дойдет до пункта В. --- ### Шаг 1. Определение скоростей: - Для плот: скорость по реке (с течением). \[ v_{плот} = v_r. \] - Для катера: его скорость относительно берега зависит от направления. - При движении навстречу течению: \[ v_{катер} = v_c - v_r, \] так как течет противоположно его движению. - При движении обратно по течению: \[ v_{катер\_обратный} = v_c + v_r. \] **Подставим \( v_c = 4 v_r \):** \[ v_{катер} = 4 v_r - v_r = 3 v_r, \] и \[ v_{катер\_обратный} = 4 v_r + v_r = 5 v_r. \] --- ### Шаг 2. Время, за которое катер достиг пункта В: Катер стартует из В и движется навстречу плот — то есть против течения, со скоростью \( 3 v_r \). Путь от В до встречи (обозначим — точка встречи \( S \)) — это расстояние, пройденное катером: \( x \) — часть пути от А до В. Нам нужно выражение для времени, за которое катер доходит до точки встречи \( S \). Обозначим: - \( t_1 \) — время движения катера до точки встречи \( S \). - \( t_2 \) — время движения плотью по реке до точки встречи \( S \). --- ### Шаг 3. Выражение для пути и времени до встречи - Плот прошел за время \( t_1 \): \[ s_{плот} = v_r t_1. \] - Катер прошел за то же время: \[ s_{катер} = (v_c - v_r) t_1 = 3 v_r t_1. \] - Путь плотника от А до В — это полностью ≥ \( L \). - В точке встречи: \[ \text{расстояние от А до точки встречи} = x, \] а: \[ x = v_{плот} t_1 = v_r t_1. \] Соответственно, расстояние от В до точки встречи равно: \[ L - x. \] --- ### Шаг 4. Определение времени до встречи - Плот, движущийся из А, прошел \( x \) за время \( t_1 \): \[ x = v_r t_1 \Rightarrow t_1 = \frac{x}{v_r}. \] - Катер, стартуя из В, прошел за то же время расстояние: \[ L - x, \] со скоростью \( 3 v_r \): \[ L - x = 3 v_r t_1. \] Подставляем \( t_1 = \frac{x}{v_r} \): \[ L - x = 3 v_r \times \frac{x}{v_r} = 3 x, \] следовательно: \[ L = 4 x \Rightarrow x = \frac{L}{4}. \] --- ### **Ответ на основную задачу:** **Плот прошел до встречи**: \[ x = \frac{L}{4}. \] Это означает, что к моменту встречи, плот прошел ¼ части пути от А до В. А после встречи, - плот продолжит путь до В, преодолев оставшуюся часть \( L - x = \frac{3L}{4} \). - Но вопрос: «какую часть пути от А до В прошел плот к моменту возвращения катера в В?» Так как катер вернулся в В, то он прошел расстояние \( L \), — весь путь. За время, пока катер добирался обратно, плот продолжил путь, и в момент прихода катера в В, плот прошел: \[ \boxed{\frac{L}{4}}. \] --- ### **ИТОГ:** **Плот пройдет \(\frac{1}{4}\) (одна четверть) пути от А до В к тому моменту, когда катер вернется в пункт В.**