— №5 Вариант 5 1. Найдите производную функции: a f(x) = 1/3 x^3 - 2x^3 + 5 b f(x) = x^6 - 1/(x) 2. Найдите: a f'( (π)/3 ), если f(x) = x sin x b f'(-1), если f(x) = (6x + 4)^2 3. Найдите все значения x, при которых f'(x) = 0, если f(x) = cos 2x + x. 4. Найдите все значения x, при которых f'(x) ≤ 0, если f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1. 5. Вычислите пределы: a lim_(x →∞)(2x^2 + 6x)/(7x - 2) b lim_(x → 2)(x^2 - 4)/(x^2 - 4) — Если нужно, я могу помочь с решением этих задач или объяснить подробнее!

Конечно! Вот подробное решение каждой задачи с объяснениями: --- ### Задача 1. Найдите производную функции: a) \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^3 + 5\) b) \(f(x) = x^6 - \frac{1}{x}\) --- ### Решение: #### 1a) Производная функции \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^3 + 5\) Перепишем функцию: \[ f(x) = \left(\frac{1}{3}x^3\right) - 2x^3 + 5 \] Обязательно remember, что производная суммы равна сумме производных, а производная степенной функции \(x^n\) равна \(n x^{n-1}\). **Шаги:** - Производная \(\frac{1}{3}x^3\) равна \(\frac{1}{3} \times 3x^{2} = x^{2}\) - Производная \(-2x^3\) равна \(-2 \times 3x^{2} = -6x^{2}\) - Производная постоянной 5 равна 0. **Ответ:** \[ f'(x) = x^{2} - 6x^{2} = -5x^{2} \] --- #### 1b) Производная функции \(f(x) = x^6 - \frac{1}{x}\) Перепишем \(\frac{1}{x}\) как \(x^{-1}\). **Шаги:** - Производная \(x^6\) равна \(6x^{5}\) - Производная \(x^{-1}\) равна \(-1 \times x^{-2} = -x^{-2}\) **Ответ:** \[ f'(x) = 6x^{5} + x^{-2} \] или \[ f'(x) = 6x^{5} + \frac{1}{x^{2}} \] --- ### Задача 2. Найдите: a) \(f'(\pi/3)\), если \(f(x) = x \sin x\) b) \(f'(-1)\), если \(f(x) = (6x + 4)^2\) --- ### Решение: #### 2a) \(f(x) = x \sin x\) Это произведение двух функций, применим формулу дифференцирования произведения: \[ (fg)' = f' g + f g' \] где \(f = x\), \(g = \sin x\). **Шаги:** - \(f' = 1\) - \(g' = \cos x\) Тогда: \[ f'(x) = 1 \times \sin x + x \times \cos x = \sin x + x \cos x \] Подставляем \(x = \pi/3\): \[ f'(\pi/3) = \sin (\pi/3) + \frac{\pi}{3} \cos (\pi/3) \] Значения тригонометрии: \[ \sin (\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos (\pi/3) = \frac{1}{2} \] Следовательно: \[ f'(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} \] --- #### 2b) \(f(x) = (6x + 4)^2\) Используем цепное правило: \[ f'(x) = 2(6x + 4) \times \frac{d}{dx}(6x + 4) \] Производная внутренней функции: \(\frac{d}{dx} (6x + 4) = 6\) Итак, \[ f'(x) = 2(6x + 4) \times 6 = 12 (6x + 4) \] Подставляем \(x = -1\): \[ f'(-1) = 12 (6 \times (-1) + 4) = 12 (-6 + 4) = 12 \times (-2) = -24 \] --- ### Задача 3. Найдите все значения \(x\), при которых \(f'(x) = 0\), если \(f(x) = \cos 2x + x\). --- ### Решение: Найдем производную \(f'(x)\): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\cos 2x) + \frac{d}{dx} (x) \] - Производная \(\cos 2x\): \[ - \sin 2x \times 2 = -2 \sin 2x \] - Производная \(x\) равна 1. **Итак:** \[ f'(x) = -2 \sin 2x + 1 \] Приравниваем к нулю: \[ -2 \sin 2x + 1 = 0 \implies -2 \sin 2x = -1 \implies \sin 2x = \frac{1}{2} \] Решаем: \[ \sin 2x = \frac{1}{2} \] Значения для \(\sin \theta = 1/2\): \[ \theta = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \theta = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Здесь \(\theta = 2x\): \[ 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{12} + \pi n \] \[ 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{5\pi}{12} + \pi n \] --- ### Задача 4. Найдите все значения \(x\), при которых \(f'(x) \leq 0\), если \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1\). --- ### Решение: Найдем \(f'(x)\): \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] Выносим общий множитель: \[ f'(x) = 6(x^2 - x - 2) \] Решим квадратное неравенство: \[ x^2 - x - 2 \leq 0 \] Факторизуем: \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \] Знаки: - \( (x - 2) \leq 0 \) при \(x \leq 2\) - \( (x + 1) \geq 0 \) при \(x \geq -1\) Решение неравенства: \[ (x - 2)(x + 1) \leq 0 \] Промежуток, где произведение отрицательное или равно нулю: \[ x \in [-1, 2] \] Учитываем множитель 6 (положительный), он не меняет знак. **Ответ:** \[ x \in [-1, 2] \] --- ### Задача 5. Вычислите пределы: a) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 6x}{7x - 2}\) b) \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4}\) --- ### Решение: #### 5a) \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 6x}{7x - 2}\) Самое важное — сравнить степень числителя и знаменателя. Здесь — степени 2 и 1. Поскольку степень числителя больше, предел будет равен бесконечности или минус бесконечности в зависимости от знака. Но более точный способ — разделить числитель и знаменатель на \(x^2\): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{6}{x}}{\frac{7}{x} - \frac{2}{x^{2}}} \] Когда \(x \to \infty\): - \(\frac{6}{x} \to 0\) - \(\frac{7}{x} \to 0\) - \(\frac{2}{x^2} \to 0\) Остается: \[ \frac{2 + 0}{0 - 0} \to \frac{2}{0} \] Это означает, что предел равен \(\infty\). Проверим знак: - При больших \(x\), числитель: положительно, знаменатель — положительно, предел стремится к +∞. **Ответ:** \[ \boxed{\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 6x}{7x - 2} = +\infty} \] --- #### 5b) \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4}\) Подставим \(x = 2\): \[ \frac{(2)^2 - 4}{(2)^2 - 4} = \frac{4 - 4}{4 - 4} = \frac{0}{0} \] Это неопределенность. Нужно упростить. Факторизуем: \[ \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} \] При \(x \neq 2\) — выражение равно 1. **Итак, предел при \(x \to 2\):** \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} = 1 \] --- Если нужно — я могу помочь с какими-то задачами подробнее или подготовить дополнительные объяснения!