— №5 Вариант 5 1. Найдите производную функции: a f(x) = 1/3 x^3 - 2x^3 + 5 b f(x) = x^6 - 1/(x) 2. Найдите: a f'( (π)/3 ), если f(x) = x sin x b f'(-1), если f(x) = (6x + 4)^2 3.…

Конечно! Вот подробное решение каждой задачи с объяснениями:

---

Задача 1. Найдите производную функции:

a) \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^3 + 5\)

b) \(f(x) = x^6 - \frac{1}{x}\)

---

Решение:

1a) Производная функции \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^3 + 5\)

Перепишем функцию:

\[ f(x) = \left(\frac{1}{3}x^3\right) - 2x^3 + 5 \]

Обязательно remember, что производная суммы равна сумме производных, а производная степенной функции \(x^n\) равна \(n x^{n-1}\).

Шаги:

• Производная \(\frac{1}{3}x^3\) равна \(\frac{1}{3} \times 3x^{2} = x^{2}\)
• Производная \(-2x^3\) равна \(-2 \times 3x^{2} = -6x^{2}\)
• Производная постоянной 5 равна 0.

Ответ:

\[ f'(x) = x^{2} - 6x^{2} = -5x^{2} \]

---

1b) Производная функции \(f(x) = x^6 - \frac{1}{x}\)

Перепишем \(\frac{1}{x}\) как \(x^{-1}\).

Шаги:

• Производная \(x^6\) равна \(6x^{5}\)
• Производная \(x^{-1}\) равна \(-1 \times x^{-2} = -x^{-2}\)

Ответ:

\[ f'(x) = 6x^{5} + x^{-2} \]

или

\[ f'(x) = 6x^{5} + \frac{1}{x^{2}} \]

---

Задача 2. Найдите:

a) \(f'(\pi/3)\), если \(f(x) = x \sin x\)

b) \(f'(-1)\), если \(f(x) = (6x + 4)^2\)

---

Решение:

2a) \(f(x) = x \sin x\)

Это произведение двух функций, применим формулу дифференцирования произведения:

\[ (fg)' = f' g + f g' \]

где \(f = x\), \(g = \sin x\).

Шаги:

• \(f' = 1\)
• \(g' = \cos x\)

Тогда:

\[ f'(x) = 1 \times \sin x + x \times \cos x = \sin x + x \cos x \]

Подставляем \(x = \pi/3\):

\[ f'(\pi/3) = \sin (\pi/3) + \frac{\pi}{3} \cos (\pi/3) \]

Значения тригонометрии:

\[ \sin (\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos (\pi/3) = \frac{1}{2} \]

Следовательно:

\[ f'(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} \]

---

2b) \(f(x) = (6x + 4)^2\)

Используем цепное правило:

\[ f'(x) = 2(6x + 4) \times \frac{d}{dx}(6x + 4) \]

Производная внутренней функции:

\(\frac{d}{dx} (6x + 4) = 6\)

Итак,

\[ f'(x) = 2(6x + 4) \times 6 = 12 (6x + 4) \]

Подставляем \(x = -1\):

\[ f'(-1) = 12 (6 \times (-1) + 4) = 12 (-6 + 4) = 12 \times (-2) = -24 \]

---

Задача 3. Найдите все значения \(x\), при которых \(f'(x) = 0\),

если \(f(x) = \cos 2x + x\).

---

Решение:

Найдем производную \(f'(x)\):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\cos 2x) + \frac{d}{dx} (x) \]

• Производная \(\cos 2x\):

\[ - \sin 2x \times 2 = -2 \sin 2x \]

• Производная \(x\) равна 1.

Итак:

\[ f'(x) = -2 \sin 2x + 1 \]

Приравниваем к нулю:

\[ -2 \sin 2x + 1 = 0 \implies -2 \sin 2x = -1 \implies \sin 2x = \frac{1}{2} \]

Решаем:

\[ \sin 2x = \frac{1}{2} \]

Значения для \(\sin \theta = 1/2\):

\[ \theta = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \theta = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Здесь \(\theta = 2x\):

\[ 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{12} + \pi n \] \[ 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{5\pi}{12} + \pi n \]

---

Задача 4. Найдите все значения \(x\), при которых \(f'(x) \leq 0\),

если \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1\).

---

Решение:

Найдем \(f'(x)\):

\[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \]

Выносим общий множитель:

\[ f'(x) = 6(x^2 - x - 2) \]

Решим квадратное неравенство:

\[ x^2 - x - 2 \leq 0 \]

Факторизуем:

\[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]

Знаки:

• \( (x - 2) \leq 0 \) при \(x \leq 2\)
• \( (x + 1) \geq 0 \) при \(x \geq -1\)

Решение неравенства:

\[ (x - 2)(x + 1) \leq 0 \]

Промежуток, где произведение отрицательное или равно нулю:

\[ x \in [-1, 2] \]

Учитываем множитель 6 (положительный), он не меняет знак.

Ответ:

\[ x \in [-1, 2] \]

---

Задача 5. Вычислите пределы:

a) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 6x}{7x - 2}\)

b) \(\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4}\)

---

Решение:

5a) \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 6x}{7x - 2}\)

Самое важное — сравнить степень числителя и знаменателя. Здесь — степени 2 и 1. Поскольку степень числителя больше, предел будет равен бесконечности или минус бесконечности в зависимости от знака.

Но более точный способ — разделить числитель и знаменатель на \(x^2\):

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{6}{x}}{\frac{7}{x} - \frac{2}{x^{2}}} \]

Когда \(x \to \infty\):

• \(\frac{6}{x} \to 0\)
• \(\frac{7}{x} \to 0\)
• \(\frac{2}{x^2} \to 0\)

Остается:

\[ \frac{2 + 0}{0 - 0} \to \frac{2}{0} \]

Это означает, что предел равен \(\infty\).

Проверим знак:

• При больших \(x\), числитель: положительно, знаменатель — положительно, предел стремится к +∞.

Ответ:

\[ \boxed{\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 6x}{7x - 2} = +\infty} \]

---

5b) \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4}\)

Подставим \(x = 2\):

\[ \frac{(2)^2 - 4}{(2)^2 - 4} = \frac{4 - 4}{4 - 4} = \frac{0}{0} \]

Это неопределенность. Нужно упростить.

Факторизуем:

\[ \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} \]

При \(x \neq 2\) — выражение равно 1.

Итак, предел при \(x \to 2\):

\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} = 1 \]

---

Если нужно — я могу помочь с какими-то задачами подробнее или подготовить дополнительные объяснения!