Система для 2x-y=5, x+ay=2
Давайте решим систему уравнений:
\[ \begin{cases} 2x - y = 5 \quad (1) \\ x + a y = 2 \quad (2) \end{cases} \]
Цель — понять способ решения этой системы. Я подробно расскажу шаг за шагом.
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Из уравнения (1):
\[ 2x - y = 5 \]
выразим \( y \):
\[ y = 2x - 5 \quad (3) \]
Шаг 2: Подставим выражение (3) в уравнение (2)
Подставим \( y = 2x - 5 \) в уравнение (2):
\[ x + a(2x - 5) = 2 \]
Раскроем скобки:
\[ x + 2a x - 5a = 2 \]
Объединим подобные члены:
\[ (1 + 2a) x = 2 + 5a \]
Шаг 3: Решим относительно \( x \)
Обозначим:
\[ (1 + 2a) x = 2 + 5a \]
Есть два случая:
- Если \( 1 + 2a \neq 0 \), то:
\[ x = \frac{2 + 5a}{1 + 2a} \]
Тогда можем найти \( y \) по выражению (3):
\[ y = 2x - 5 = 2 \cdot \frac{2 + 5a}{1 + 2a} - 5 \]
Приведем к общему виду — это и есть решение.
- Если \( 1 + 2a = 0 \), то есть:
\[ a = -\frac{1}{2} \]
в этом случае уравнение преобразуется в:
\[ 0 \cdot x = 2 + 5a \]
Подставляем \( a = -\frac{1}{2} \):
\[ 2 + 5 \left(-\frac{1}{2}\right) = 2 - \frac{5}{2} = \frac{4}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2} \]
Значит, уравнение принимает вид:
\[ 0 \cdot x = -\frac{1}{2} \]
Это неверно, потому что \( 0 \neq -\frac{1}{2} \). Значит, для \( a = -\frac{1}{2} \) система не имеет решений.
Итог:
- Для \( a \neq -\frac{1}{2} \):
\[ \boxed{ \begin{aligned} x &= \frac{2 + 5a}{1 + 2a} \\ y &= 2x - 5 = 2 \cdot \frac{2 + 5a}{1 + 2a} - 5 \end{aligned} } \]
- Для \( a = -\frac{1}{2} \): решений нет, система несовместна.
Если нужен более подробный разбор или пример с конкретным значением \( a \), скажите!
