Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом…

Давайте разберем задачу по шагам и найдём максимум исходной суммы кредита, при которой суммарные выплаты за 5 лет будут меньше 7 миллионов рублей.

---

Входные данные и условия задачи:

• Изначальный кредит: \( x \) миллионов рублей.
• Период: 5 лет.
• В середине каждого года основной долг увеличивается на 20% по сравнению с началом года.
• В конце 1, 2 и 3 годов заёмщик платит только проценты, при этом долг остаётся неизменным — равным первоначальному.
• В конце 4 и 5 годов заёмщик выплачивает равноценные суммы, полностью погашающие долг.
• Общая сумма выплат за 5 лет должна быть меньше 7 миллионов рублей.

---

Шаг 1. Определение изменений долга по годам

Обозначим изначальный долг: \( x \).

Год 1:

• В начале года долг: \( x \).
• В середине года увеличивается на 20%:

\[ x \to x \times 1.2 \]

(Но так как в конце года выплат не производится, а только в конце 4 и 5 лет, долг на конец года — это снова \( x \), так как во 1-3 годах долг не меняется после увеличения до середины).

Ключевой момент: Во 1-3 году долг после повышения на 20% в середине года остается неизменным (так как выплаты только в конце 4 и 5 годов). Значит, во 1, 2, 3 годы долг, используемый для процента, — это первоначальный \( x \), а увеличение только влияет на расчет процентов.

---

Шаг 2. Расчет процентов за первые три года

Проценты платятся в конце каждого года за весь год, исходя из первоначальной суммы \( x \):

\[ \text{Процент за год} = 0.2 \times x \]

(так как увеличение 20% происходит в середине, а выплаты — в конце, проценты начисляются на сумму, равную \( x \)).

Значит, за первые три года заемщик платит:

\[ 3 \times (0.2 \times x) = 0.6 x \]

Обратите внимание, что сумму долга в это время остается постоянной \( x \).

---

Шаг 3. Расчет выплаты за 4 и 5 годы

На 4-й и 5-й годах заемщик погашает весь долг и платит проценты.

• Конец 4-го года:

  Долг увеличивается за год на 20% после середины:

  \[ x \times 1.2 \]

  В конце 4-го года долг перед выплатой погашения остается по-прежнему равен \( x \), потому что выплаты происходят только в конце 4 и 5 лет.

• Для выплат в 4 и 5 году:

  Общая сумма выплаты состоит из:

  • Выплаты процентов за 4-й и 5-й год: \(\ 2 \times 0.2 x = 0.4 x \)
  • Погашения всего долга \( x \)

  В конце 4-го года и в конце 5-го года он выплатит равные суммы, которые полностью погасит долг.

---

Шаг 4. Обозначим сумму выплаты в конце 4-го и 5-го года

Обозначим сумму выплаты в конце 4-го и 5-го годов (они равны):

\[ S \]

Тогда:

\[ \text{Выплата в конце 4-го года} = \text{Проценты за 4-й год} + \text{Погашение долга} \] \[ S = 0.2 x + x = 1.2 x \]

Аналогично для 5-го года:

\[ S = 0.2 x + \text{остаток долга после первой выплаты} \]

Но поскольку в конце 4-го года полностью погашается долг, то в 5 году не остается долга, и выплаты — только проценты.

Поскольку выплаты одинаковые \( S \), значит:

\[ S = 1.2 x \]

---

Шаг 5. Общая сумма выплат

Общая сумма выплат за 5 лет:

• За 1-3 годы — только проценты, \( 0.6 x \).
• За 4-5 годы — по \( 1.2 x \) каждое, итого \( 2.4 x \).

Общая сумма выплат:

\[ \text{ИТОГО} = 0.6 x + 2 \times 1.2 x = 0.6 x + 2.4 x = 3.0 x \]

---

Шаг 6. Условие ограничения

Общая сумма выплат должна быть менее 7 млн:

\[ 3.0 x < 7 \]

Отсюда:

\[ x < \frac{7}{3} \approx 2.333\text{ миллиона рублей} \]

---

Ответ:

Наибольший размер кредита, при котором сумма выплат будет менее 7 млн рублей, равен примерно 2.33 миллиона рублей.

---

Если есть дополнительные вопросы или нужен более развернутый разбор — пишите!