Давайте разберем задачу по шагам и найдём максимум исходной суммы кредита, при которой суммарные выплаты за 5 лет будут меньше 7 миллионов рублей.
Входные данные и условия задачи:
- Изначальный кредит: ( x ) миллионов рублей.
- Период: 5 лет.
- В середине каждого года основной долг увеличивается на 20% по сравнению с началом года.
- В конце 1, 2 и 3 годов заёмщик платит только проценты, при этом долг остаётся неизменным — равным первоначальному.
- В конце 4 и 5 годов заёмщик выплачивает равноценные суммы, полностью погашающие долг.
- Общая сумма выплат за 5 лет должна быть меньше 7 миллионов рублей.
Шаг 1. Определение изменений долга по годам
Обозначим изначальный долг: ( x ).
Год 1:
- В начале года долг: ( x ).
- В середине года увеличивается на 20%:
[
x \to x \times 1.2
]
(Но так как в конце года выплат не производится, а только в конце 4 и 5 лет, долг на конец года — это снова ( x ), так как во 1-3 годах долг не меняется после увеличения до середины).
Ключевой момент: Во 1-3 году долг после повышения на 20% в середине года остается неизменным (так как выплаты только в конце 4 и 5 годов). Значит, во 1, 2, 3 годы долг, используемый для процента, — это первоначальный ( x ), а увеличение только влияет на расчет процентов.
Шаг 2. Расчет процентов за первые три года
Проценты платятся в конце каждого года за весь год, исходя из первоначальной суммы ( x ):
[
\text{Процент за год} = 0.2 \times x
]
(так как увеличение 20% происходит в середине, а выплаты — в конце, проценты начисляются на сумму, равную ( x )).
Значит, за первые три года заемщик платит:
[
3 \times (0.2 \times x) = 0.6 x
]
Обратите внимание, что сумму долга в это время остается постоянной ( x ).
Шаг 3. Расчет выплаты за 4 и 5 годы
На 4-й и 5-й годах заемщик погашает весь долг и платит проценты.
Конец 4-го года:
Долг увеличивается за год на 20% после середины:
[
x \times 1.2
]
В конце 4-го года долг перед выплатой погашения остается по-прежнему равен ( x ), потому что выплаты происходят только в конце 4 и 5 лет.
Для выплат в 4 и 5 году:
Общая сумма выплаты состоит из:
- Выплаты процентов за 4-й и 5-й год: (\ 2 \times 0.2 x = 0.4 x )
- Погашения всего долга ( x )
В конце 4-го года и в конце 5-го года он выплатит равные суммы, которые полностью погасит долг.
Шаг 4. Обозначим сумму выплаты в конце 4-го и 5-го года
Обозначим сумму выплаты в конце 4-го и 5-го годов (они равны):
[
S
]
Тогда:
[
\text{Выплата в конце 4-го года} = \text{Проценты за 4-й год} + \text{Погашение долга}
]
[
S = 0.2 x + x = 1.2 x
]
Аналогично для 5-го года:
[
S = 0.2 x + \text{остаток долга после первой выплаты}
]
Но поскольку в конце 4-го года полностью погашается долг, то в 5 году не остается долга, и выплаты — только проценты.
Поскольку выплаты одинаковые ( S ), значит:
[
S = 1.2 x
]
Шаг 5. Общая сумма выплат
Общая сумма выплат за 5 лет:
- За 1-3 годы — только проценты, ( 0.6 x ).
- За 4-5 годы — по ( 1.2 x ) каждое, итого ( 2.4 x ).
Общая сумма выплат:
[
\text{ИТОГО} = 0.6 x + 2 \times 1.2 x = 0.6 x + 2.4 x = 3.0 x
]
Шаг 6. Условие ограничения
Общая сумма выплат должна быть менее 7 млн:
[
3.0 x < 7
]
Отсюда:
[
x < \frac{7}{3} \approx 2.333\text{ миллиона рублей}
]
Ответ:
Наибольший размер кредита, при котором сумма выплат будет менее 7 млн рублей, равен примерно 2.33 миллиона рублей.
Если есть дополнительные вопросы или нужен более развернутый разбор — пишите!
