Рассмотрим выражение ((x + 2)^4). Чтобы раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, используем биномиальную формулу Ньютона:
[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
]
В нашем случае (a = x), (b = 2), (n=4).
Запишем развернутый вид:
[
(x + 2)^4 = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} x^{4 - k} \cdot 2^k
]
Рассчитаем каждое слагаемое по отдельности:
- Для (k=0):
[
\binom{4}{0} x^{4} \cdot 2^0 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 = x^4
]
- Для (k=1):
[
\binom{4}{1} x^{3} \cdot 2^1 = 4 \cdot x^3 \cdot 2 = 8x^3
]
- Для (k=2):
[
\binom{4}{2} x^{2} \cdot 2^2 = 6 \cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2
]
- Для (k=3):
[
\binom{4}{3} x^{1} \cdot 2^3 = 4 \cdot x \cdot 8 = 32x
]
- Для (k=4):
[
\binom{4}{4} x^{0} \cdot 2^4 = 1 \cdot 1 \cdot 16 = 16
]
Теперь соберем полное разложение:
[
(x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16
]
Наибольший коэффициент — это число перед старшей степенью (x^4), то есть 1.
Ответ: (\boxed{1})
