Давайте рассмотрим задачу по поиску первообразных функции ( y = \cos 10x ).
Что такое первообразная (интеграл функции)?
Это функция, производная которой равна исходной функции. Иначе говоря, если ( F(x) ) — первообразная для ( y = \cos 10x ), то:
[
F'(x) = \cos 10x
]
Рассмотрим задачу:
Нам нужно найти ( F(x) ), такую, что
[
F'(x) = \cos 10x
]
Шаг 1: Запишем интеграл
Чтобы найти первообразную, возьмем неопределенный интеграл:
[
F(x) = \int \cos 10x , dx
]
Шаг 2: Сделаем замену переменной
Обозначим:
[
u = 10x \Rightarrow du = 10 dx \Rightarrow dx = \frac{du}{10}
]
Подставим в интеграл:
[
F(x) = \int \cos u \cdot \frac{du}{10} = \frac{1}{10} \int \cos u , du
]
Шаг 3: Интегрируем
Интеграл от ( \cos u ):
[
\int \cos u , du = \sin u + C
]
Следовательно:
[
F(x) = \frac{1}{10} \sin u + C = \frac{1}{10} \sin (10x) + C
]
где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.
Ответ:
Первообразная функции ( y = \cos 10x ) равна:
[
\boxed{
F(x) = \frac{1}{10} \sin (10x) + C
}
]
Если нужно, могу помочь более подробно или с другими типами задач!
