Стороны четырёхугольника ABCD, AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 85°, 65°, 90°, 120°. Найдите угол В этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Дано четырёхугольник \(ABCD\) с описанной окружностью. На стороны этого четырёхугольника наложены дуги окружности, соответствующие углам при вершинах \(A, B, C, D\), и их градусные величины равны соответственно: - дуга, соответствующая стороне \(AB\) — 85° - дуга, соответствующая стороне \(BC\) — 65° - дуга, соответствующая стороне \(CD\) — 90° - дуга, соответствующая стороне \(DA\) — 120° **Задача:** найти угол \(\angle ABC\). --- ### Основные свойства 1. В описанном окружности четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, поскольку четырёхугольник вписан в окружность. 2. Угол, взятый при вершине \(B\), связаны с дугой, противоположной вершине \(B\). В частности, **угол у вершины \(B\)** равен половине дуги, **какая она**. --- ### Шаг 1: Определение дуг Пусть дуги, соответствующие вершинам, обозначены следующим образом: - дуга, напротив вершины \(A\) — \(b_A\) - дуга, напротив вершины \(B\) — \(b_B\) - дуга, напротив вершины \(C\) — \(b_C\) - дуга, напротив вершины \(D\) — \(b_D\) Но по условию, указаны дуги для соответствующих сторон: - дуга, соответствующая стороне \(AB\) — 85° - дуга, соответствующая стороне \(BC\) — 65° - дуга, соответствующая стороне \(CD\) — 90° - дуга, соответствующая стороне \(DA\) — 120° Обратите внимание, что дуги, указанные в задаче, связаны с дугами окружности, на которых расположены соответствующие стороны. --- ### Шаг 2: Выяснение связей между дугами и углами при вершинах Угол \(\angle ABC\) — это угол при вершине \(B\), и он связан с дугой, которая **не включает вершину \(B\)** (то есть дуга, противоположная вершине \(B\)). **Формула:** \[ \angle ABC = \frac{1}{2} (\text{дуга, опирающаяся на сторону } AC) \] Для определения \(\angle ABC\) необходимо понять, какую дугу она «охватывает». Вписанный угол равен половине дуги, противоположной соответствующей вершине. --- ### Шаг 3: Определение дуг, связанных с вершинами В условии даны дуги: - дуга, соответствующая стороне \(AB\) — 85° - дуга, соответствующая стороне \(BC\) — 65° - дуга, соответствующая стороне \(CD\) — 90° - дуга, соответствующая стороне \(DA\) — 120° Поскольку **(AB)** — дуга длиной 85°, дуга, соответствующая вершине \(B\), — это дуга, противоположная \(B\), т.е. \(\overset{\smallfrown}{AC}\). Общий периметр дуг равен 360°, и сумма всех дуг, соответствующих сторонам, равна 360°: \[ 85° + 65° + 90° + 120° = 360°. \] Разделим круг на дуги, связанные с вершинами. Тогда: - дуга, противная вершине \(A\), — это \(\overset{\smallfrown}{BC}\) + \(\overset{\smallfrown}{D}\), - дуга, противная вершине \(B\), — это \(\overset{\smallfrown}{CD}\) + \(\overset{\smallfrown}{A}\), - дуга, противная вершине \(C\), — это \(\overset{\smallfrown}{DA}\) + \(\overset{\smallfrown}{B}\), - дуга, противная вершине \(D\), — это \(\overset{\smallfrown}{AB}\) + \(\overset{\smallfrown}{C}\). --- ### Шаг 4: Расчет дуг Нам нужно определить, какая дуга лежит напротив вершины \(B\), то есть, дуга \(\overset{\smallfrown}{AC}\), в которой на границе находятся точки \(A\) и \(C\). Рассмотрим связанные дуги: - дуга \(\overset{\smallfrown}{AB}\) — 85° - дуга \(\overset{\smallfrown}{BC}\) — 65° - дуга \(\overset{\smallfrown}{CD}\) — 90° - дуга \(\overset{\smallfrown}{DA}\) — 120° **Дуги в круге:** 1. Дугу \(\overset{\smallfrown}{AB}\) — 85°, 2. Дугу \(\overset{\smallfrown}{BC}\) — 65°, 3. Дугу \(\overset{\smallfrown}{CD}\) — 90°, 4. Дугу \(\overset{\smallfrown}{DA}\) — 120°. --- ### Шаг 5: Определение дуги \(\overset{\smallfrown}{AC}\) Общая дуга — 360°, сумма всех дуг: \[ 85 + 65 + 90 + 120 = 360°. \] Дуга \(\overset{\smallfrown}{AC}\) — это сумма дуг, которую нужно найти, чтобы определить сторону \(AC\). Дуга \(\overset{\smallfrown}{AC}\) включает дуги \(\overset{\smallfrown}{AB}\) + \(\overset{\smallfrown}{BC}\). \[ \boxed{ \overset{\smallfrown}{AC} = 85° + 65° = 150° } \] --- ### Шаг 6: Расчет угла \(\angle ABC\) Поскольку \(\angle ABC\) — вписанный угол, опирающийся на дугу \(\overset{\smallfrown}{AC}\) (против вершины \(B\)), он равен половине этой дуги: \[ \angle ABC = \frac{1}{2} \times \overset{\smallfrown}{AC} = \frac{1}{2} \times 150° = 75°. \] --- ## Итог: \[ \boxed{ \text{Ответ: } \angle ABC = \boxed{75^\circ} } \] --- Если нужно, я могу помочь с пояснениями или более детальным разбором.