Решить задачу с рисунком. Из точки окружности проведены две перпендикулярные хорды разность которых 7 см найти длины хорд если радиус окружности равен 6.5
Давайте подробно решим задачу по геометрии.
Дано:
- Окружность с радиусом \( R = 6{,}5 \) см.
- Из точки, лежащей внутри окружности, проведены две перпендикулярные хорды.
- Разность длин этих хорд равна 7 см.
Найти: длины двух хорд.
Шаг 1. Обозначения и важные свойства
Обозначим:
- Длины хорд: \( c \) и \( d \).
- Их разность: \( |c - d| = 7 \).
Поскольку хорды перпендикулярны и исходят из одной точки внутри окружности, эта точка называется точкой пересечения диагоналей двух перпендикулярных хорд.
Для такой ситуации хорошо подходит свойство:
- В окружности с радиусом \( R \),
- Если хорды перпендикулярны и пересекаются внутри окружности, то их половины и расстояния от центра связаны через радиус.
Но в условии сказано, что из одной точки в окружности проведены две перпендикулярные хорды, и они разнятся по длине.
Шаг 2. Связь между длинами хорд и точкой внутри окружности
Обозначим:
- Расстояние от центра окружности до точки пересечения двух хордов — \( p \).
- Тогда длины хорд можно выразить через \( p \) и угол, который они образуют.
Рассмотрим вопрос более конкретно:
- Пусть из точки внутри окружности проведены две перпендикулярные хорды,
- Обозначим их длины как \( c \) и \( d \).
Из геометрии известно:
\[ c = 2 \sqrt{R^2 - x^2} \] и \[ d = 2 \sqrt{R^2 - y^2} \]
где \( x \) и \( y \) — перпендикулярные расстояния от центра до точек пересечения.
Но есть простое и важное свойство:
Если из точки внутри окружности проведены две перпендикулярные хорды, то точка — центр их пересечения, Тогда:
- Одна хорда — горизонтальная,
- Другая — вертикальная.
И тогда, если длины этих хорд \( c \) и \( d \), то:
\[ c = 2 \sqrt{R^2 - a^2} \] \[ d = 2 \sqrt{R^2 - b^2} \]
где \( a \) и \( b \) — разстояния от центра до точек перпендикулярных хорд.
Но так как из точки внутри окружности проведены перпендикулярные хорды, и разность их длин равна 7 см, то:
\[ |c - d| = 7 \]
Также, поскольку обе хорды проходят через одну точку, то их половины связаны с расстоянием от центра.
Шаг 3. Используем формулы для хорд
Обозначим:
- \( c = 2 \sqrt{R^2 - x^2} \),
- \( d = 2 \sqrt{R^2 - y^2} \),
и поскольку хорды перпендикулярны, точка пересечения находится в точке, которая делит их.
Но так как в условии, что из точки проведены перпендикулярные хорды, и разница их длины 7, то можно попытаться рассматривать ситуацию как:
\[ |c - d| = 7 \]
Шаг 4. Решение через систему уравнений
Пусть:
- \( c = 2 \sqrt{R^2 - x^2} \),
- \( d = 2 \sqrt{R^2 - y^2} \),
где \( x \), \( y \) — расстояния от центра до точек, в которых хорды пересекают окружность, но поскольку оба пересекают окружность, длина хорды зависит от расстояния до центра.
Так как хорды перпендикулярны и исходят из одной точки внутри окружности, эти длины связаны:
\[ c = 2 \sqrt{R^2 - m^2} \] \[ d = 2 \sqrt{R^2 - n^2} \]
и \( m \), \( n \) — расстояния от центральной точки.
Но проще всего — применить другой подход.
Шаг 5. Начнем с подстановки чисел
Допустим, что одна из хорд — длиной \( c \), а другая — \( c + 7 \) (или \( c - 7 \)).
Попробуем для упрощения:
Обозначим \( c \) — меньшую длину, тогда:
\[ d = c + 7 \]
Обозначим \( c \).
Так как оба выражаются через радиус:
\[ c = 2 \sqrt{R^2 - x^2} \] \[ c + 7 = 2 \sqrt{R^2 - y^2} \]
Рассмотрим два уравнения:
\[ c = 2 \sqrt{R^2 - x^2} \] \[ c + 7 = 2 \sqrt{R^2 - y^2} \]
Из них:
\[ \sqrt{R^2 - x^2} = \frac{c}{2} \] \[ \sqrt{R^2 - y^2} = \frac{c + 7}{2} \]
Шаг 6. Ограничение радиуса и вычисления
Поскольку \( R = 6.5 \), подставим:
\[ \sqrt{6.5^2 - x^2} = \frac{c}{2} \] \[ \sqrt{6.5^2 - y^2} = \frac{c + 7}{2} \]
Раскроем:
\[ \sqrt{42.25 - x^2} = \frac{c}{2} \] \[ \sqrt{42.25 - y^2} = \frac{c + 7}{2} \]
Возьмем разность:
\[ \frac{c + 7}{2} - \frac{c}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \]
Это разность значений корней:
\[ \sqrt{42.25 - y^2} - \sqrt{42.25 - x^2} = 3.5 \]
Обозначим:
\[ A = \sqrt{42.25 - y^2} \] \[ B = \sqrt{42.25 - x^2} \]
Тогда:
\[ A - B = 3.5 \]
И из уравнений:
\[ A = \frac{c + 7}{2} \] \[ B = \frac{c}{2} \]
Следовательно:
\[ A - B = \frac{c + 7}{2} - \frac{c}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \]
все верно.
Шаг 7. Найти \( c \)
Обратимся к уравнению для \( A \) и \( B \):
\[ A^2 = 42.25 - y^2 \] \[ B^2 = 42.25 - x^2 \]
Также:
\[ A = \frac{c + 7}{2} \] \[ B = \frac{c}{2} \]
Тогда:
\[ A^2 = \left(\frac{c + 7}{2}\right)^2 \] \[ B^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 \]
Выразим \( y^2 \) и \( x^2 \):
\[ y^2 = 42.25 - A^2 = 42.25 - \frac{(c + 7)^2}{4} \] \[ x^2 = 42.25 - B^2 = 42.25 - \frac{c^2}{4} \]
Так как \( x \) и \( y \) — расстояния от центра, они должны быть внутри, и их квадраты — неотрицательные. Также, чтобы обе хорды существовали, их длины должны удовлетворять:
\[ c \geq 0, \quad c + 7 \geq 0 \]
И, поскольку радиус фиксирован, найдем \( c \).
Шаг 8. Итоговое уравнение
Поскольку обе длины связаны с радиусом, ищем значение \( c \).
Обозначим:
\[ A^2 = \frac{(c + 7)^2}{4} \] \[ B^2 = \frac{c^2}{4} \]
Подставим:
\[ x^2 = 42.25 - \frac{c^2}{4} \] \[ y^2 = 42.25 - \frac{(c+7)^2}{4} \]
Эти значения должны быть неотрицательными, и из геометрии предполагается, что:
\[ x, y \leq R = 6.5 \]
Шаг 9. Решение для \( c \)
Перепишем уравнение для \( y^2 \):
\[ y^2 = 42.25 - \frac{(c+7)^2}{4} \]
Поскольку \( y^2 \geq 0 \):
\[ 42.25 - \frac{(c+7)^2}{4} \geq 0 \]
умножим на 4:
\[ 169 - (c+7)^2 \geq 0 \]
\[ (c+7)^2 \leq 169 \]
\[ c+7 \leq \pm 13 \]
Поскольку длина хорды \( c \geq 0 \), и \( c + 7 \) — положительно:
\[ c + 7 \leq 13 \] \[ c \leq 6 \]
Аналогично, для \( x^2 \):
\[ 42.25 - \frac{c^2}{4} \geq 0 \] \[ c^2 \leq 169 \] \[ c \leq 13 \]
Это ограничение, и оно согласуется с предыдущим.
Ответ:
Длина меньшей хорды:
\[ c = 6\, \text{см} \]
Тогда более длинная:
\[ d = c + 7 = 13\, \text{см} \]
Итог:
Длины хорд:
\[ \boxed{ \text{меньшая хорда} = 6\, \text{см} } \] \[ \boxed{ \text{большая хорда} = 13\, \text{см} } \]
Если нужны более подробные пояснения или проверка — скажите!
