Решить задачу с рисунком. Из точки окружности проведены две перпендикулярные хорды разность которых 7 см найти длины хорд если радиус окружности равен 6.5

Давайте подробно решим задачу по геометрии. **Дано:** - Окружность с радиусом \( R = 6{,}5 \) см. - Из точки, лежащей внутри окружности, проведены две перпендикулярные хорды. - Разность длин этих хорд равна 7 см. **Найти:** длины двух хорд. --- ### Шаг 1. Обозначения и важные свойства Обозначим: - Длины хорд: \( c \) и \( d \). - Их разность: \( |c - d| = 7 \). Поскольку хорды перпендикулярны и исходят из одной точки внутри окружности, эта точка называется **точкой пересечения** диагоналей двух перпендикулярных хорд. Для такой ситуации хорошо подходит свойство: - В окружности с радиусом \( R \), - Если хорды перпендикулярны и пересекаются внутри окружности, то их половины и расстояния от центра связаны через радиус. Но в условии сказано, что из **одной точки в окружности** проведены две **перпендикулярные** хорды, и они разнятся по длине. --- ### Шаг 2. Связь между длинами хорд и точкой внутри окружности Обозначим: - Расстояние от центра окружности до точки пересечения двух хордов — \( p \). - Тогда длины хорд можно выразить через \( p \) и угол, который они образуют. Рассмотрим вопрос более конкретно: - Пусть из точки внутри окружности проведены две перпендикулярные хорды, - Обозначим их длины как \( c \) и \( d \). Из геометрии известно: \[ c = 2 \sqrt{R^2 - x^2} \] и \[ d = 2 \sqrt{R^2 - y^2} \] где \( x \) и \( y \) — перпендикулярные расстояния от центра до точек пересечения. **Но есть простое и важное свойство:** Если из точки внутри окружности проведены две перпендикулярные хорды, то точка — центр их пересечения, Тогда: - Одна хорда — горизонтальная, - Другая — вертикальная. И тогда, если длины этих хорд \( c \) и \( d \), то: \[ c = 2 \sqrt{R^2 - a^2} \] \[ d = 2 \sqrt{R^2 - b^2} \] где \( a \) и \( b \) — разстояния от центра до точек перпендикулярных хорд. Но так как из точки внутри окружности проведены перпендикулярные хорды, и разность их длин равна 7 см, то: \[ |c - d| = 7 \] Также, поскольку обе хорды проходят через одну точку, то их половины связаны с расстоянием от центра. --- ### Шаг 3. Используем формулы для хорд Обозначим: - \( c = 2 \sqrt{R^2 - x^2} \), - \( d = 2 \sqrt{R^2 - y^2} \), и поскольку хорды перпендикулярны, точка пересечения находится в точке, которая делит их. Но так как в условии, что из точки проведены перпендикулярные хорды, и разница их длины 7, то можно попытаться рассматривать ситуацию как: \[ |c - d| = 7 \] --- ### Шаг 4. Решение через систему уравнений Пусть: - \( c = 2 \sqrt{R^2 - x^2} \), - \( d = 2 \sqrt{R^2 - y^2} \), где \( x \), \( y \) — расстояния от центра до точек, в которых хорды пересекают окружность, но поскольку оба пересекают окружность, длина хорды зависит от расстояния до центра. Так как хорды перпендикулярны и исходят из одной точки внутри окружности, эти длины связаны: \[ c = 2 \sqrt{R^2 - m^2} \] \[ d = 2 \sqrt{R^2 - n^2} \] и \( m \), \( n \) — расстояния от центральной точки. Но проще всего — применить другой подход. --- ### Шаг 5. Начнем с подстановки чисел Допустим, что одна из хорд — длиной \( c \), а другая — \( c + 7 \) (или \( c - 7 \)). Попробуем для упрощения: Обозначим \( c \) — меньшую длину, тогда: \[ d = c + 7 \] Обозначим \( c \). Так как оба выражаются через радиус: \[ c = 2 \sqrt{R^2 - x^2} \] \[ c + 7 = 2 \sqrt{R^2 - y^2} \] Рассмотрим два уравнения: \[ c = 2 \sqrt{R^2 - x^2} \] \[ c + 7 = 2 \sqrt{R^2 - y^2} \] Из них: \[ \sqrt{R^2 - x^2} = \frac{c}{2} \] \[ \sqrt{R^2 - y^2} = \frac{c + 7}{2} \] --- ### Шаг 6. Ограничение радиуса и вычисления Поскольку \( R = 6.5 \), подставим: \[ \sqrt{6.5^2 - x^2} = \frac{c}{2} \] \[ \sqrt{6.5^2 - y^2} = \frac{c + 7}{2} \] Раскроем: \[ \sqrt{42.25 - x^2} = \frac{c}{2} \] \[ \sqrt{42.25 - y^2} = \frac{c + 7}{2} \] Возьмем разность: \[ \frac{c + 7}{2} - \frac{c}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \] Это разность значений корней: \[ \sqrt{42.25 - y^2} - \sqrt{42.25 - x^2} = 3.5 \] Обозначим: \[ A = \sqrt{42.25 - y^2} \] \[ B = \sqrt{42.25 - x^2} \] Тогда: \[ A - B = 3.5 \] И из уравнений: \[ A = \frac{c + 7}{2} \] \[ B = \frac{c}{2} \] Следовательно: \[ A - B = \frac{c + 7}{2} - \frac{c}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \] все верно. --- ### Шаг 7. Найти \( c \) Обратимся к уравнению для \( A \) и \( B \): \[ A^2 = 42.25 - y^2 \] \[ B^2 = 42.25 - x^2 \] Также: \[ A = \frac{c + 7}{2} \] \[ B = \frac{c}{2} \] Тогда: \[ A^2 = \left(\frac{c + 7}{2}\right)^2 \] \[ B^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 \] Выразим \( y^2 \) и \( x^2 \): \[ y^2 = 42.25 - A^2 = 42.25 - \frac{(c + 7)^2}{4} \] \[ x^2 = 42.25 - B^2 = 42.25 - \frac{c^2}{4} \] Так как \( x \) и \( y \) — расстояния от центра, они должны быть внутри, и их квадраты — неотрицательные. Также, чтобы обе хорды существовали, их длины должны удовлетворять: \[ c \geq 0, \quad c + 7 \geq 0 \] И, поскольку радиус фиксирован, найдем \( c \). --- ### Шаг 8. Итоговое уравнение Поскольку обе длины связаны с радиусом, ищем значение \( c \). Обозначим: \[ A^2 = \frac{(c + 7)^2}{4} \] \[ B^2 = \frac{c^2}{4} \] Подставим: \[ x^2 = 42.25 - \frac{c^2}{4} \] \[ y^2 = 42.25 - \frac{(c+7)^2}{4} \] Эти значения должны быть неотрицательными, и из геометрии предполагается, что: \[ x, y \leq R = 6.5 \] --- ### Шаг 9. Решение для \( c \) Перепишем уравнение для \( y^2 \): \[ y^2 = 42.25 - \frac{(c+7)^2}{4} \] Поскольку \( y^2 \geq 0 \): \[ 42.25 - \frac{(c+7)^2}{4} \geq 0 \] умножим на 4: \[ 169 - (c+7)^2 \geq 0 \] \[ (c+7)^2 \leq 169 \] \[ c+7 \leq \pm 13 \] Поскольку длина хорды \( c \geq 0 \), и \( c + 7 \) — положительно: \[ c + 7 \leq 13 \] \[ c \leq 6 \] Аналогично, для \( x^2 \): \[ 42.25 - \frac{c^2}{4} \geq 0 \] \[ c^2 \leq 169 \] \[ c \leq 13 \] Это ограничение, и оно согласуется с предыдущим. --- ### **Ответ:** Длина меньшей хорды: \[ c = 6\, \text{см} \] Тогда более длинная: \[ d = c + 7 = 13\, \text{см} \] --- ## Итог: **Длины хорд:** \[ \boxed{ \text{меньшая хорда} = 6\, \text{см} } \] \[ \boxed{ \text{большая хорда} = 13\, \text{см} } \] --- Если нужны более подробные пояснения или проверка — скажите!