Давайте разберем задачу по шагам и подробно объясним решение.

Дано:

• Точка \( S \) расположена над треугольником \( ABC \), который лежит в плоскости \( (ABC) \).
• Из точки \( S \) опущен перпендикуляр \( SB \) на плоскость \( (ABC) \).
• \( SB \) — перпендикуляр к плоскости и его длина \( SB = 4 \).
• Линии \( SA \) и \( SC \), исходящие из \( S \), образуют с плоскостью \( (ABC) \) углы: \[ \angle(SA, (ABC)) = 30^\circ,\quad \angle(SC, (ABC)) = 45^\circ \]
• Требуется найти тангенс угла между линией \( SA \) и плоскостью \( (SBC) \).

---

Шаг 1: Восстанавливаем геометрическую картину

• Точка \( S \) находится выше плоскости \( ABC \), и \( SB \) — перпендикуляр.

• На плоскости \( ABC \) фиксированы точки \( A, B, C \).

• Углы между линиями \( SA \), \( SC \) и плоскостью заданы, значит, эти линии наклонены относительно горизонтальной плоскости \( (ABC) \).

---

Шаг 2: Определение положений линий \( SA \) и \( SC \)

• Углы между \( SA \) и плоскостью \( (ABC) \) равны \(30^\circ \).
• Углы между \( SC \) и плоскостью \( (ABC) \) равны \(45^\circ \).

Это означает, что линии \( SA \) и \( SC \) наклонены к плоскости под данными углами.

---

Шаг 3: Нахождение высоты точки \( S \)

Поскольку \( SB \) — перпендикуляр к \( (ABC) \), и его длина \( 4 \), то

\[ \text{Высота} S над plane } = 4 \]

Это говорит, что \( S \) находится на высоте 4 относительно плоскости.

---

Шаг 4: Найти проекции линий \( SA \) и \( SC \)

Рассмотрим проекции линий \( SA \) и \( SC \) на плоскость. Пусть \( P_A \) — проекция точки \( A \) на \( (SBC) \), и аналогично для \( C \).

Но поскольку мы ищем угол между линией \( SA \) и плоскостью \( (SBC) \), — лучше рассмотреть прямой угол между линией \( SA \) и плоскостью — это равно углу между линией \( SA \) и ее проекцией на плоскость \( (SBC) \), а затем найти тангенс этого угла.

---

Шаг 5: Определение направления и наклона линий \( SA \)

Из выражения углов:

\[ \angle(SA, (ABC)) = 30^\circ \]

Значит, линия \( SA \) наклонена к плоскости \( (ABC) \) под углом \(30^\circ\).

• Тогда наклон линии \( SA \) относительно горизонтальной оси можно представить в виде:

\[ \text{Наклон}\, \theta_{A} = 30^\circ \]

Аналогично для \( SC \):

\[ \theta_{C} = 45^\circ \]

---

Шаг 6: Определение угла между линией \( SA \) и плоскостью \( (SBC) \)

Нам нужно найти угол между линией \( SA \) и плоскостью \( (SBC) \).

Линия \( SA \) наклонена к \( (ABC) \) под \(30^\circ\) — то есть, ее наклон относительно горизонтальной равен 30°.

Для этих целей важно понять, что искомый угол между \( SA \) и плоскостью \( (SBC) \) равен углу между \( SA \) и ее проекцией на \( (SBC) \).

Если обозначить этот угол \( \varphi \), то:

\[ \tan \varphi = \frac{\text{относительная высота}}{\text{горизонтальная проекция}} \]

---

Шаг 7: Связь между наклоном и искомым углом

Поскольку \( SB \) перпендикуляр к \( (ABC) \) и равен 4, то точка \( S \) находится на высоте 4.

Линия \( SA \) образует с плоскостью \( (ABC) \) угол \(30^\circ\), значит, компонента её «высоты» относительно \( (ABC) \):

\[ \text{вертикальный компонент} = \text{длина } SA \times \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \times SA \]

Обозначим длину \( SA = l_A \).

Аналогично, горизонтальный компонент:

\[ l_A \times \cos 30^\circ = l_A \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]

---

Шаг 8: Прямая \( SA \) и её проекция на \( (SBC) \)

Поскольку \( (SBC) \) — плоскость, проходящая через \( S \), \( B \), и \( C \), а \( B \) лежит на высоте 0, можем рассматривать проекцию \( SA \) на плоскость \( (SBC) \).

Искомый угол — между линией \( SA \) и плоскостью \( (SBC) \).

Это равно углу между линией \( SA \) и её проекцией на \( (SBC) \).

Изобразим линию \( SA \), и проекцию \( S A' \), которая будет лежать в плоскости \( (SBC) \).

Тогда тангенс нужного угла:

\[ \tan \theta = \frac{\text{высотная составляющая}}{\text{горизонтальная составляющая}} \]

Из геометрии, сопротивляемых угловых соотношений, уровень этой части сохраняется — так как \( SB \) — высота, равная 4, а наклон \( SA \) даёт отношение.

---

Итоговое решение:

Основа: \( \text{тангенс} \) угла между линией \( SA \) и плоскостью \( (SBC) \):

\[ \tan \phi = \frac{\text{напряжённость компоненты \( SA \) в высоте}}{\text{горизонтальная проекция в плоскость \( (SBC) \)}} \]

При угле наклона \(30^\circ\) и высоте \(4\):

\[ \tan \phi = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ \boxed{\frac{1}{\sqrt{3}}} } \]

Тангенс искомого угла — \(\frac{1}{\sqrt{3}}\).