Стороны правильного треугольника ABC равны 3 3 Найдите длину вектора АВ+АС
Давайте решим задачу по шагам.
Задача:
Стороны правильного треугольника \( ABC \) равны 3, нужно найти длину вектора \(\vec{AB} + \vec{AC}\).
Шаг 1: Обозначения и понимание
В треугольнике \( ABC \):
- \(\vec{AB}\) — вектор от точки \(A\) к \(B\).
- \(\vec{AC}\) — вектор от точки \(A\) к \(C\).
Доказано, что все стороны равны (т.е. \(AB = AC = BC = 3\)).
Шаг 2: Положение точек и выбор системы координат
Для удобства выберем координаты:
- Пусть \(A\) — в начале координат: \(A(0,0)\).
Обозначим точки \(B\) и \(C\):
Пусть \(B\) находится по оси \(x\) в точке \(B(3,0)\).
Тогда длина \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (3,0)\).Точка \(C\) должна находиться так, чтобы \(AC = 3\) и \(BC = 3\).
Шаг 3: Координаты точки \(C\)
Пусть \(C(x,y)\).
Известно:
\(AC = 3\) → \(\sqrt{x^2 + y^2} = 3\) → \(x^2 + y^2 = 9\).
\(BC = 3\) → расстояние от \(B(3,0)\) до \(C(x,y)\):
\(\sqrt{(x-3)^2 + y^2} = 3\) → \((x-3)^2 + y^2 = 9\).
Шаг 4: Решение системы уравнений
Минусуем первое уравнение из второго:
\[ (x-3)^2 + y^2 - (x^2 + y^2) = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 - 6x + 9 + y^2 - x^2 - y^2 = 0 \] \[ -6x + 9 = 0 \] \[ 6x = 9 \] \[ x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5 \]
Подставляем \(x=1.5\) в первое уравнение:
\[ (1.5)^2 + y^2 = 9 \] \[ 2.25 + y^2 = 9 \] \[ y^2 = 9 - 2.25 = 6.75 \] \[ y = \pm \sqrt{6.75} = \pm \frac{\sqrt{27}}{2} = \pm \frac{3\sqrt{3}}{2} \]
Итак, точки \(C\):
\[ C\left(1.5, \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \]
Шаг 5: Выбор и вычисление векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\)
Выберите положительный вариант для удобства:
\(\vec{AB} = (3,0)\)
\(\vec{AC} = \left(1.5, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)
Шаг 6: Находим сумму векторов
\[ \vec{AB} + \vec{AC} = (3,0) + \left(1.5, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = (3 + 1.5, 0 + \frac{3\sqrt{3}}{2}) = (4.5, \frac{3\sqrt{3}}{2}) \]
Шаг 7: Длина суммы векторов
\[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{(4.5)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} \]
Вычислим каждое слагаемое:
\[ (4.5)^2 = 20.25 \]
\[ \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(3\sqrt{3})^2}{4} = \frac{9 \times 3}{4} = \frac{27}{4} = 6.75 \]
Теперь сложим:
\[ \sqrt{20.25 + 6.75} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]
Ответ:
\[ \boxed{ |\vec{AB} + \vec{AC}| = 3\sqrt{3} } \]
Это — длина суммы данных векторов.
