Найдите точку максимума функции у = (5х-6)e-4x-6.

Для нахождения точки максимума функции \( y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \), необходимо найти её критические точки — значения \( x \), в которых производная функции равна нулю, а затем определить, является ли эта точка максимумом.

Шаг 1: Запишем функцию \[ y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \]

Шаг 2: Найдём её первую производную \( y' \).

Применим правило произведения: \[ y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x), \] где \( f(x) = 5x - 6 \), тогда \( f'(x) = 5 \).

\( g(x) = e^{-4x - 6} \), тогда \[ g'(x) = \frac{d}{dx} e^{-4x - 6} = -4 e^{-4x - 6}. \]

Следовательно, \[ y' = 5 e^{-4x - 6} + (5x - 6)(-4 e^{-4x - 6}) = e^{-4x - 6} [5 - 4(5x - 6)]. \]

Раскроем скобки:

\[ y' = e^{-4x - 6} [5 - 20x + 24] = e^{-4x - 6} (29 - 20x). \]

Шаг 3: Находим критические точки, при которых \( y' = 0 \).

Поскольку \( e^{-4x - 6} \neq 0 \) для всех \( x \), то \[ 29 - 20x = 0 \quad \Rightarrow \quad 20x = 29 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{29}{20} = 1.45. \]

Шаг 4: Определим, является ли эта точка точкой максимума.

Для этого посмотрим знак производной слева и справа от точки \( x = 1.45 \):

• При \( x < 1.45 \), например, \( x = 1.4 \): \[ 29 - 20 \times 1.4 = 29 - 28 = 1 > 0, \] то есть \( y' > 0 \).

• При \( x > 1.45 \), например, \( x = 1.5 \): \[ 29 - 20 \times 1.5 = 29 - 30 = -1 < 0, \] то есть \( y' < 0 \).

Производная меняется с положительной на отрицательную при \( x = 1.45 \), значит эта точка — точка локального максимума.

Ответ:
Точка максимума функции — при \( x = \frac{29}{20} \approx 1.45 \).
Значение функции в этой точке: \[ y\left(\frac{29}{20}\right) = \left(5 \times \frac{29}{20} - 6\right) e^{-4 \times \frac{29}{20} - 6}. \]

Рассчитаем подробно:

\[ 5 \times \frac{29}{20} = \frac{145}{20} = 7.25, \] тогда \[ 5x - 6 = 7.25 - 6 = 1.25. \]

Об exponent:

\[ -4 \times \frac{29}{20} = -\frac{116}{20} = -5.8, \] следовательно, \[ -4x - 6 = -5.8 - 6 = -11.8. \]

Итак,

\[ y_{\text{max}} = 1.25 \times e^{-11.8}. \]

Это — точка максимума функции.