В классе планируется проверочная работа. Каждому школьнику достанется случайное задание на одну из 5
тем. В классе
10
отличников, которые знают все темы;
5
хорошистов, каждый из которых знает какие-то три темы;
5
троечников, каждый из которых знает только какую-то одну тему.
Был выбран случайный ученик из класса. Какова вероятность того, что этот ученик знал доставшуюся ему тему?
Рассмотрим задачу и разобьём её на части.
**Дано:**
- В классе 10 отличников: каждый знает все 5 тем.
- 5 хорошистов: каждый знает 3 темы (разные среди них, или могут пересекаться? — предположим, что не всегда — уточним позже).
- 5 троечников: каждый знает 1 тему.
Обозначим темы как T1, T2, T3, T4, T5.
**Шаг 1. Общий случай выбора ученика:**
Общее число учеников:
\[ N = 10 + 5 + 5 = 20 \]
**Шаг 2. Вероятность выбора каждого типа ученика:**
- Отличники: \(\frac{10}{20} = \frac{1}{2}\)
- Хорошисты: \(\frac{5}{20} = \frac{1}{4}\)
- Троечники: \(\frac{5}{20} = \frac{1}{4}\)
**Шаг 3. Вероятность, что выбранный ученик знает конкретную тему:**
- **Отличники:** знают все темы, значит, вероятность, что он знает конкретную тему, равна 1.
- **Хорошисты:** каждый знает 3 темы. Нам нужно понять, как распределены темы у хорошистов.
Предположим, что у каждого хорошиста свои три темы, без пересечений (для упрощения). Тогда:
- Вероятность, что конкретный хорошийист знает тему T_i: зависит от того, входит ли эта тема в его тройку.
- Вероятность, что выбранный хорошийист знает конкретную тему: если всех 5 хорошистов разделить по 3 темам так, чтобы темы распределялись равномерно, то каждый из 5 хорошистов знает 3 темы, из 5 тем.
- Общее число тем, которые знают хорошисты:
Поскольку каждый хорошист знает 3 темы, а всего 5 тем, то при равномерном распределении, каждая тема встречается примерно в \(\frac{3 \times 5}{5} = 3\) раза.
Вероятность, что выбранный хорошийист знает данную тему:
\[
P_\text{хорошист, знает тему} = \frac{\text{число хорошистов, знающих тему}}{5}
\]
При равномерном распределении каждая тема у 3 хорошистов (так как 5 хорошистов по 3 темы — итого 15 "знаний"), то каждая тема, скорее всего, знает 3 хорошиста.
Тогда:
\[
P_\text{хорошист, знает тему} = \frac{3}{5} = 0,6
\]
- **Троечники:** каждый знает ровно 1 тему. Предположим, что темы распределены равномерно среди троечников (по одной теме у каждого). Тогда вероятность, что выбранный троечник знает конкретную тему, равна 1/5, так как есть 5 троечников, и каждый знает одну уникальную тему.
**Шаг 4. Итоговая вероятность:**
Общая вероятность, что выбранный случайный ученик знает конкретную тему, равна взвешенной суммы вероятностей в зависимости от типа ученика:
\[
P = P_\text{отличник} \times 1 + P_\text{хорошист} \times 0,6 + P_\text{троечник} \times \frac{1}{5}
\]
Подставим значения:
\[
P = \frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{4} \times 0,6 + \frac{1}{4} \times \frac{1}{5}
\]
Вычислим:
\[
P = 0.5 + 0.25 \times 0.6 + 0.25 \times 0.2
\]
\[
P = 0.5 + 0.15 + 0.05 = 0.7
\]
**Ответ:**
**Вероятность, что выбранный случайный ученик знает доставшуюся ему тему, равна 0,7 или 70%.**
