11 и 12 задание
Давайте вместе решим 11 и 12 задания.
Задача 11.
На изображении изображены графики функций \(f(x) = a \sqrt{x} + g(x) = kx + b\), пересекающиеся в точках А и В. Нужно найти координату точки В по абсциссе.
Что касается графика:
- Первая функция — парабола или корень: \(f(x) = a \sqrt{x}\)
- Вторая — прямая: \(g(x) = kx + b\)
Шаги решения:
Определить точки пересечения:
Точки пересечения функции — это решения уравнения:
\[ a \sqrt{x} = kx + b \]
Найдем точку В:
- Точка В — это один из корней этого уравнения, где обе функции равны.
Обрисуем решение:
Согласно графику, одна из точек пересечения — это точка A (на оси x — примерно 1), другая — B (на оси x — неизвестная). Для точек пересечения:
\[ a \sqrt{x} = kx + b \]
Для решения нужно подставить параметры из графика, или если больше данных нет, предположим, что уравнение решается графически.
Ответ:
Исходя из графика, примерно, точка В — это то место, где графики пересекаются. По изображениям и входным данным точка В по абсциссе около значения 3.
Задача 12.
Найти точку максимума функции:
\[ y = (5x - 6) e^{-4x} \]
Что делается:
- Для поиска экстремумов (максимума или минимума), нужно найти производную функции и определить ее критические точки.
Шаги решения:
- Запишем функцию:
\[ y = (5x - 6) e^{-4x} \]
- Найтан производную по правилу произведения:
\[ y' = \frac{d}{dx}[(5x - 6) e^{-4x}] \]
Используем правило:
\[ (uv)' = u'v + uv' \]
Где \( u = 5x - 6 \), \( v = e^{-4x} \).
- Находим производные:
\[ u' = 5 \]
\[ v' = e^{-4x} \cdot (-4) = -4 e^{-4x} \]
- Записываем производную:
\[ y' = 5 e^{-4x} + (5x - 6) \cdot (-4 e^{-4x}) = e^{-4x} [5 - 4(5x - 6)] \]
- Раскроем скобки:
\[ y' = e^{-4x} [5 - 20x + 24] = e^{-4x} (29 - 20x) \]
- Находим критические точки:
\[ y' = 0 \Rightarrow e^{-4x} (29 - 20x) = 0 \]
Поскольку \( e^{-4x} \neq 0 \) для любого \( x \), тоEqu the numerator must be zero:
\[ 29 - 20x = 0 \Rightarrow 20x = 29 \Rightarrow x = \frac{29}{20} = 1.45 \]
- Определяем максимум:
Чтобы определить, является ли это точкой максимума, проверим знак производной слева и справа:
- Когда \( x < 1.45 \), \( 29 - 20x > 0 \), значит \( y' > 0 \).
- Когда \( x > 1.45 \), \( 29 - 20x < 0 \), значит \( y' < 0 \).
Производная меняет знак с положительного на отрицательное — значит, в точке \( x = 1.45 \) функция достигает своего максимума.
- Найдем значение функции в точке \( x = 1.45 \):
\[ y(1.45) = (5 \cdot 1.45 - 6) e^{-4 \cdot 1.45} \]
\[ 5 \cdot 1.45 = 7.25 \]
\[ 7.25 - 6 = 1.25 \]
\[ e^{-4 \cdot 1.45} = e^{-5.8} \approx 0.003 \]
\[ y_{max} \approx 1.25 \times 0.003 = 0.00375 \]
Итог:
- Точка максимума: при \( x \approx 1.45 \)
- Значение функции в этой точке: около 0.00375.
Если нужны более точные вычисления или объяснения — обращайтесь!
