Найдите точку максимума функции y=(5x-6)e^-4x-6

Давайте решим задачу — найти точку максимума функции: \[ y = (5x - 6) e^{-4x} - 6 \] ### Шаг 1: Найдём производную функции Нам нужно найти точку, в которой производная равна нулю (это потенциальная точка максимума или минимума). Обозначим функцию как: \[ y = u(x) \cdot v(x) - 6 \], где \[ u(x) = 5x - 6 \] \[ v(x) = e^{-4x} \] Производная функции будет равна: \[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' \] - Найдём \( u' \): \[ u' = 5 \] - Найдём \( v' \): \[ v' = \frac{d}{dx} e^{-4x} = -4 e^{-4x} \] Теперь запишем: \[ y' = 5 \cdot e^{-4x} + (5x - 6) \cdot (-4 e^{-4x}) \] \[ y' = 5 e^{-4x} - 4 (5x - 6) e^{-4x} \] Выносим \( e^{-4x} \): \[ y' = e^{-4x} \left[ 5 - 4 (5x - 6) \right] \] Раскроем скобки: \[ y' = e^{-4x} \left[ 5 - 20x + 24 \right] \] \[ y' = e^{-4x} \left[ 29 - 20x \right] \] ### Шаг 2: Находим критические точки Приравниваем производную к нулю: \[ y' = 0 \Rightarrow e^{-4x} (29 - 20x) = 0 \] Эк exponential функция \( e^{-4x} \) всегда не равна нулю, значит, неправда, что она равна нулю. Поэтому уравнение сводится к: \[ 29 - 20x = 0 \] Решаем это уравнение: \[ 20x = 29 \] \[ x = \frac{29}{20} = 1.45 \] ### Шаг 3: Проверка типа критической точки Для этого найдём вторую производную или используем первый метод — анализ знаков производной. Но чтобы упростить, посмотрим на знак \( y' \): - Для \( x < 1.45 \): \[ 29 - 20x > 0 \Rightarrow y' > 0 \] — функция возрастает. - Для \( x > 1.45 \): \[ 29 - 20x < 0 \Rightarrow y' < 0 \] — функция убывает. Значит, в точке \( x = 1.45 \) функция достигает максимума. ### Итог: **Точка максимума** функции находится при \( x \approx 1.45 \). --- ### Шаг 4: Вычисление значения функции в точке максимума Подставим \( x = \frac{29}{20} \): \[ y_{max} = (5 \cdot \frac{29}{20} - 6) e^{-4 \cdot \frac{29}{20}} - 6 \] Посчитаем по частям: \[ 5 \cdot \frac{29}{20} = \frac{145}{20} = 7.25 \] \[ 7.25 - 6 = 1.25 \] \[ -4 \cdot \frac{29}{20} = -\frac{116}{20} = -5.8 \] Теперь: \[ y_{max} = 1.25 \cdot e^{-5.8} - 6 \] Рассчитаем \( e^{-5.8} \): \[ e^{-5.8} \approx 0.0030 \] Итак: \[ y_{max} \approx 1.25 \times 0.0030 - 6 \] \[ y_{max} \approx 0.00375 - 6 \] \[ y_{max} \approx -5.99625 \] ### Итог: - **Точка максимума**: \( x \approx 1.45 \) - **Максимальное значение функции**: приблизительно \( y \approx -5.996 \) Если нужно, я могу помочь с более точными вычислениями или графиком!