Найдите точку максимума функции y=(5x-6)e^-4x-6

Давайте решим задачу — найти точку максимума функции:

\[ y = (5x - 6) e^{-4x} - 6 \]

Шаг 1: Найдём производную функции

Нам нужно найти точку, в которой производная равна нулю (это потенциальная точка максимума или минимума).

Обозначим функцию как:

\[ y = u(x) \cdot v(x) - 6 \], где \[ u(x) = 5x - 6 \] \[ v(x) = e^{-4x} \]

Производная функции будет равна:

\[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' \]

• Найдём \( u' \):

\[ u' = 5 \]

• Найдём \( v' \):

\[ v' = \frac{d}{dx} e^{-4x} = -4 e^{-4x} \]

Теперь запишем:

\[ y' = 5 \cdot e^{-4x} + (5x - 6) \cdot (-4 e^{-4x}) \] \[ y' = 5 e^{-4x} - 4 (5x - 6) e^{-4x} \]

Выносим \( e^{-4x} \):

\[ y' = e^{-4x} \left[ 5 - 4 (5x - 6) \right] \]

Раскроем скобки:

\[ y' = e^{-4x} \left[ 5 - 20x + 24 \right] \] \[ y' = e^{-4x} \left[ 29 - 20x \right] \]

Шаг 2: Находим критические точки

Приравниваем производную к нулю:

\[ y' = 0 \Rightarrow e^{-4x} (29 - 20x) = 0 \]

Эк exponential функция \( e^{-4x} \) всегда не равна нулю, значит, неправда, что она равна нулю. Поэтому уравнение сводится к:

\[ 29 - 20x = 0 \]

Решаем это уравнение:

\[ 20x = 29 \] \[ x = \frac{29}{20} = 1.45 \]

Шаг 3: Проверка типа критической точки

Для этого найдём вторую производную или используем первый метод — анализ знаков производной.

Но чтобы упростить, посмотрим на знак \( y' \):

• Для \( x < 1.45 \):

\[ 29 - 20x > 0 \Rightarrow y' > 0 \] — функция возрастает.

• Для \( x > 1.45 \):

\[ 29 - 20x < 0 \Rightarrow y' < 0 \] — функция убывает.

Значит, в точке \( x = 1.45 \) функция достигает максимума.

Итог:

Точка максимума функции находится при \( x \approx 1.45 \).

---

Шаг 4: Вычисление значения функции в точке максимума

Подставим \( x = \frac{29}{20} \):

\[ y_{max} = (5 \cdot \frac{29}{20} - 6) e^{-4 \cdot \frac{29}{20}} - 6 \]

Посчитаем по частям:

\[ 5 \cdot \frac{29}{20} = \frac{145}{20} = 7.25 \]

\[ 7.25 - 6 = 1.25 \]

\[ -4 \cdot \frac{29}{20} = -\frac{116}{20} = -5.8 \]

Теперь:

\[ y_{max} = 1.25 \cdot e^{-5.8} - 6 \]

Рассчитаем \( e^{-5.8} \):

\[ e^{-5.8} \approx 0.0030 \]

Итак:

\[ y_{max} \approx 1.25 \times 0.0030 - 6 \] \[ y_{max} \approx 0.00375 - 6 \] \[ y_{max} \approx -5.99625 \]

Итог:

• Точка максимума: \( x \approx 1.45 \)
• Максимальное значение функции: приблизительно \( y \approx -5.996 \)

Если нужно, я могу помочь с более точными вычислениями или графиком!