Y = (5x - 6)e^(-4x-6)

Давайте разберем задачу с функцией: \[ y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \] Цель — понять, как работать с этой функцией. В основном, это задача, связанная с дифференцированием — найти производную функции, чтобы понять ее поведение (например, точки экстремума или интуицию о росте/падении). **Шаг 1: Распишем исходную функцию:** \[ y = u(x) \cdot v(x) \] где: - \( u(x) = 5x - 6 \) - \( v(x) = e^{-4x - 6} \) Это произведение двух функций, и для их дифференцирования используем **правило произведения**: \[ y' = u' v + u v' \] --- **Шаг 2: Найдем производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \):** - \( u(x) = 5x - 6 \Rightarrow u'(x) = 5 \) - \( v(x) = e^{-4x - 6} \) Для нахождения \( v'(x) \): - Используем цепное правило: \( v(x) = e^{g(x)} \), где \( g(x) = -4x - 6 \). Тогда: \[ v'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x) \] - \( g'(x) = -4 \) Следовательно, \[ v'(x) = e^{-4x - 6} \cdot (-4) = -4 e^{-4x - 6} \] --- **Шаг 3: Подставляем в формулу производной:** \[ y' = u' v + u v' \] \[ y' = 5 \cdot e^{-4x - 6} + (5x - 6) \cdot (-4 e^{-4x - 6}) \] Выносим общий множитель \( e^{-4x - 6} \): \[ y' = e^{-4x - 6} \left[ 5 + (5x - 6)(-4) \right] \] **Шаг 4: Упростим выражение внутри скобок:** \[ 5 + (5x - 6)(-4) = 5 - 4(5x - 6) \] \[ = 5 - 4 \cdot 5x + 4 \cdot 6 \] \[ = 5 - 20x + 24 \] \[ = (5 + 24) - 20x = 29 - 20x \] --- **Итог:** \[ y' = e^{-4x - 6} (29 - 20x) \] --- ### ИтAnswer: Производная функции: \[ \boxed{ y' = e^{-4x - 6} (29 - 20x) } \] Это дает возможность анализировать поведение функции: точка экстремума достигается, когда \( y' = 0 \), то есть: \[ e^{-4x - 6} (29 - 20x) = 0 \] Поскольку экспонента ноль не принимает, равенство выполняется лишь при: \[ 29 - 20x = 0 \Rightarrow x = \frac{29}{20} = 1,45 \] Это может быть точкой максимума или минимума, в зависимости от знака второй производной и анализа. Если нужен более подробный разбор или конкретные вопросы — скажи!