Найти производную: (5 в степени -Х + 3 е в степени Х

Конечно! Давайте разберем задачу по шагам: Нам нужно найти производную функции: \[ f(x) = 5^{-x} + 3e^{x} \] **Шаг 1. Разделим функцию на два слагаемых:** \[ f(x) = 5^{-x} + 3e^{x} \] **Шаг 2. Найдем производную каждого слагаемого отдельно.** ### Производная \( 5^{-x} \) - Обратим внимание, что \( 5^{-x} = (5^{x})^{-1} \). - Для удобства лучше использовать общую формулу для производной экспоненциальной функции со основанием \(a\): \[ \frac{d}{dx}[a^{x}] = a^{x} \ln a \] - Но в нашем случае аргумент отрицателен, т.е. \( 5^{-x} \). - Производная \( a^{-x} \) равна: \[ \frac{d}{dx}[a^{-x}] = -a^{-x} \ln a \] **Объяснение:** Внутри функции у нас \( a^{-x} \), где \( a = 5 \). Производная по правилу цепочки: \[ \frac{d}{dx}[a^{-x}] = a^{-x} \cdot \frac{d}{dx}[-x] = a^{-x} \cdot (-1) = -a^{-x} \] Но также нужно учесть коэффициент \( \ln a \), так как производная \( a^{u} \), где \( u = -x \), равна: \[ a^{u} \ln a \cdot u' \] Значит, итоговая формула: \[ \frac{d}{dx}[a^{u}] = a^{u} \ln a \cdot u' \] где \( u = -x \), значит \( u' = -1 \). Итак, производная: \[ \frac{d}{dx}[a^{-x}] = a^{-x} \ln a \cdot (-1) = -a^{-x} \ln a \] Подставляем \( a = 5 \): \[ \frac{d}{dx}[5^{-x}] = -5^{-x} \ln 5 \] ### Производная \( 3e^{x} \) - Производная \( e^{x} \) равна \( e^{x} \). - Значит, \[ \frac{d}{dx}[3e^{x}] = 3e^{x} \] **Шаг 3. Итоговая производная функции:** \[ f'(x) = -5^{-x} \ln 5 + 3e^{x} \] --- ### Итвердое решение: \[ \boxed{ \frac{d}{dx} \left( 5^{-x} + 3e^{x} \right) = -5^{-x} \ln 5 + 3e^{x} } \] Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение — скажите!