найти производную: (5 в степени -Х + 3 е в степени Х

Конечно! Давайте разберем задачу по шагам:

Нам нужно найти производную функции:
\[ f(x) = 5^{-x} + 3e^{x} \]

Шаг 1. Разделим функцию на два слагаемых:
\[ f(x) = 5^{-x} + 3e^{x} \]

Шаг 2. Найдем производную каждого слагаемого отдельно.

Производная \( 5^{-x} \)

• Обратим внимание, что \( 5^{-x} = (5^{x})^{-1} \).

• Для удобства лучше использовать общую формулу для производной экспоненциальной функции со основанием \(a\):
  \[ \frac{d}{dx}[a^{x}] = a^{x} \ln a \]

• Но в нашем случае аргумент отрицателен, т.е. \( 5^{-x} \).

• Производная \( a^{-x} \) равна:
  \[ \frac{d}{dx}[a^{-x}] = -a^{-x} \ln a \]

Объяснение:
Внутри функции у нас \( a^{-x} \), где \( a = 5 \). Производная по правилу цепочки:

\[ \frac{d}{dx}[a^{-x}] = a^{-x} \cdot \frac{d}{dx}[-x] = a^{-x} \cdot (-1) = -a^{-x} \]

Но также нужно учесть коэффициент \( \ln a \), так как производная \( a^{u} \), где \( u = -x \), равна:

\[ a^{u} \ln a \cdot u' \]

Значит, итоговая формула:
\[ \frac{d}{dx}[a^{u}] = a^{u} \ln a \cdot u' \]

где \( u = -x \), значит \( u' = -1 \).

Итак, производная:
\[ \frac{d}{dx}[a^{-x}] = a^{-x} \ln a \cdot (-1) = -a^{-x} \ln a \]

Подставляем \( a = 5 \):

\[ \frac{d}{dx}[5^{-x}] = -5^{-x} \ln 5 \]

Производная \( 3e^{x} \)

• Производная \( e^{x} \) равна \( e^{x} \).
• Значит,

\[ \frac{d}{dx}[3e^{x}] = 3e^{x} \]

Шаг 3. Итоговая производная функции:

\[ f'(x) = -5^{-x} \ln 5 + 3e^{x} \]

Итвердое решение:

\[ \boxed{ \frac{d}{dx} \left( 5^{-x} + 3e^{x} \right) = -5^{-x} \ln 5 + 3e^{x} } \]

Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение — скажите!