8.50. Определите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если периметр его основания равен 16 см, полная поверх-ность равна 168 см³ и объем равен 108 см³
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Дано:
- Периметр основания равен 16 см.
- Полная поверхность равна 168 см².
- Объем равен 108 см³.
Шаг 1. Обозначения
Пусть:
- длина основания — \(a\),
- ширина основания — \(b\),
- высота параллелепипеда — \(h\).
Шаг 2. Выразим известные параметры
Периметр основания:
\[ 2(a + b) = 16 \implies a + b = 8. \]
Шаг 3. Выразим объем
Объем:
\[ V = a \times b \times h = 108. \]
Шаг 4. Выразим полностью площадь поверхности
Площадь поверхности:
\[ S = 2(ab + ac + bc). \]
Но так как у нас параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, то:
\[ S = 2(ab + a h + b h). \]
Значит,
\[ 2(ab + h(a + b)) = 168 \implies ab + h(a + b) = 84. \]
Известно, что \(a + b = 8\), тогда:
\[ ab + 8h = 84. \] (Это уравнение 1).
Шаг 5. Используем объем
Объем:
\[ a b h = 108, \]
или:
\[ h = \frac{108}{a b}. \]
(Это уравнение 2).
Шаг 6. Подставим \(h\) в уравнение 1
Из уравнения 1:
\[ ab + 8h = 84, \]
подставим \(h = \frac{108}{a b}\):
\[ ab + 8 \times \frac{108}{a b} = 84. \]
Обозначим \(x = a b\), тогда:
\[ x + \frac{864}{x} = 84. \]
Шаг 7. Решим уравнение для \(x\)
Умножим обе части на \(x\):
\[ x^2 + 864 = 84x, \] или
\[ x^2 - 84x + 864 = 0. \]
Это квадратное уравнение.
Шаг 8. Решим квадратное уравнение
Дискриминант:
\[ D = 84^2 - 4 \times 1 \times 864 = 7056 - 3456 = 3600. \]
Корни:
\[ x = \frac{84 \pm \sqrt{3600}}{2} = \frac{84 \pm 60}{2}. \]
Варианты:
- \(\displaystyle x = \frac{84 + 60}{2} = \frac{144}{2} = 72\),
- \(\displaystyle x = \frac{84 - 60}{2} = \frac{24}{2} = 12\).
Шаг 9. Найдём \(a b\)
У нас два варианта: \(a b = 12\) или \(a b = 72\).
Шаг 10. Определим \(h\)
Обратимся к выражению \(h = \frac{108}{a b}\):
- Для \(a b = 12\):
\[ h = \frac{108}{12} = 9. \]
- Для \(a b = 72\):
\[ h = \frac{108}{72} = 1.5. \]
Шаг 11. Найдём возможные стороны основания
Из \(a + b = 8\):
- Если \(a b = 12\), то \(a, b\) — корни уравнения:
\[ t^2 - 8 t + 12 = 0. \]
Решение:
\[ \Delta = 64 - 48 = 16, \] \[ t = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}. \]
Варианты:
- \(t = \frac{8 + 4}{2} = 6\),
- \(t = \frac{8 - 4}{2} = 2\).
Значит, пары сторон: \((a, b) = (6, 2)\) или \((2, 6)\).
- Если \(a b = 72\), уравнение:
\[ t^2 - 8 t + 72 = 0, \] дискриминант:
\[ 64 - 288 = -224, \] отрицательный, значит, этого варианта решения нет для реальных сторон.
ИТОГ:
Основание — со сторонами \(a = 6, b = 2\) (или наоборот), а высота \(h = 9\).
Шаг 12. Определим длину диагонали прямоугольного параллелепипеда
Диагональ \(d\):
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}. \]
Подставим значения:
\[ a = 6, \quad b = 2, \quad h = 9. \]
Вычисление:
\[ d = \sqrt{6^2 + 2^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 4 + 81} = \sqrt{121} = 11. \]
Ответ:
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна \(\boxed{11\, \text{см}}\).
