8.50. Определите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если периметр его основания равен 16 см, полная поверх-ность равна 168 см³ и объем равен 108 см³

Давайте разберем задачу шаг за шагом. --- **Дано:** - Периметр основания равен 16 см. - Полная поверхность равна 168 см². - Объем равен 108 см³. --- ### Шаг 1. Обозначения Пусть: - длина основания — \(a\), - ширина основания — \(b\), - высота параллелепипеда — \(h\). --- ### Шаг 2. Выразим известные параметры **Периметр основания:** \[ 2(a + b) = 16 \implies a + b = 8. \] --- ### Шаг 3. Выразим объем Объем: \[ V = a \times b \times h = 108. \] --- ### Шаг 4. Выразим полностью площадь поверхности Площадь поверхности: \[ S = 2(ab + ac + bc). \] Но так как у нас параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, то: \[ S = 2(ab + a h + b h). \] Значит, \[ 2(ab + h(a + b)) = 168 \implies ab + h(a + b) = 84. \] Известно, что \(a + b = 8\), тогда: \[ ab + 8h = 84. \] (Это уравнение 1). --- ### Шаг 5. Используем объем Объем: \[ a b h = 108, \] или: \[ h = \frac{108}{a b}. \] (Это уравнение 2). --- ### Шаг 6. Подставим \(h\) в уравнение 1 Из уравнения 1: \[ ab + 8h = 84, \] подставим \(h = \frac{108}{a b}\): \[ ab + 8 \times \frac{108}{a b} = 84. \] Обозначим \(x = a b\), тогда: \[ x + \frac{864}{x} = 84. \] --- ### Шаг 7. Решим уравнение для \(x\) Умножим обе части на \(x\): \[ x^2 + 864 = 84x, \] или \[ x^2 - 84x + 864 = 0. \] Это квадратное уравнение. --- ### Шаг 8. Решим квадратное уравнение Дискриминант: \[ D = 84^2 - 4 \times 1 \times 864 = 7056 - 3456 = 3600. \] Корни: \[ x = \frac{84 \pm \sqrt{3600}}{2} = \frac{84 \pm 60}{2}. \] Варианты: 1. \(\displaystyle x = \frac{84 + 60}{2} = \frac{144}{2} = 72\), 2. \(\displaystyle x = \frac{84 - 60}{2} = \frac{24}{2} = 12\). --- ### Шаг 9. Найдём \(a b\) У нас два варианта: \(a b = 12\) или \(a b = 72\). --- ### Шаг 10. Определим \(h\) Обратимся к выражению \(h = \frac{108}{a b}\): 1. Для \(a b = 12\): \[ h = \frac{108}{12} = 9. \] 2. Для \(a b = 72\): \[ h = \frac{108}{72} = 1.5. \] --- ### Шаг 11. Найдём возможные стороны основания Из \(a + b = 8\): - Если \(a b = 12\), то \(a, b\) — корни уравнения: \[ t^2 - 8 t + 12 = 0. \] Решение: \[ \Delta = 64 - 48 = 16, \] \[ t = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}. \] Варианты: - \(t = \frac{8 + 4}{2} = 6\), - \(t = \frac{8 - 4}{2} = 2\). Значит, пары сторон: \((a, b) = (6, 2)\) или \((2, 6)\). - Если \(a b = 72\), уравнение: \[ t^2 - 8 t + 72 = 0, \] дискриминант: \[ 64 - 288 = -224, \] отрицательный, значит, этого варианта решения нет для реальных сторон. **ИТОГ:** Основание — со сторонами \(a = 6, b = 2\) (или наоборот), а высота \(h = 9\). --- ### **Шаг 12. Определим длину диагонали прямоугольного параллелепипеда** Диагональ \(d\): \[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}. \] Подставим значения: \[ a = 6, \quad b = 2, \quad h = 9. \] Вычисление: \[ d = \sqrt{6^2 + 2^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 4 + 81} = \sqrt{121} = 11. \] --- ## **Ответ:** **Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна \(\boxed{11\, \text{см}}\).**