Найдите точку максимума функции y = -х^2 +2х -4ln х -29

Давайте найдем точку максимума функции \( y = -x^2 + 2x - 4 \ln x - 29 \), выполнение пошаговых расчетов и объяснений. Предположим, что задача относится к курсу средней школы или начального университета, поэтому объяснения будут понятными и подробными. --- ### Шаг 1: Определение области определения функции Функция содержит логарифм \( \ln x \). Он определен только для \( x > 0 \). Значит, область определения — \( x > 0 \). --- ### Шаг 2: Нахождение первой производной функции Для поиска экстремума — точек максимума или минимума — необходимо найти точку, где первая производная равна нулю или не существует. Запишем функцию: \[ y = -x^2 + 2x - 4 \ln x - 29 \] Найдем её первую производную \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx} \left( -x^2 + 2x - 4 \ln x - 29 \right) \] - Производная от \( -x^2 \): \[ -2x \] - Производная от \( 2x \): \[ 2 \] - Производная от \( -4 \ln x \): \[ -4 \cdot \frac{1}{x} = -\frac{4}{x} \] - Производная от константы \( -29 \): \[ 0 \] Итак, первая производная: \[ y' = -2x + 2 - \frac{4}{x} \] --- ### Шаг 3: Нахождение критических точек Критические точки — это такие \( x \), при которых \( y' = 0 \) или производная не существует. Рассмотрим уравнение: \[ -2x + 2 - \frac{4}{x} = 0 \] Перенесем все в левую часть: \[ -2x + 2 = \frac{4}{x} \] Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на \( x \) (учитывая, что \( x > 0 \)): \[ x(-2x + 2) = 4 \] Развернем левую часть: \[ -2x^2 + 2x = 4 \] Приведем уравнение к стандартной форме: \[ -2x^2 + 2x - 4 = 0 \] или \[ 2x^2 - 2x + 4= 0 \] делим обе части на 2: \[ x^2 - x + 2 = 0 \] Рассмотрим квадратичное уравнение: \[ x^2 - x + 2 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 \] Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных решений. --- ### Итог по этим уравнениям: Первая производная равна нулю ни при каком положительном \( x \). Значит, критических точек, где \( y' = 0 \), на области \( x > 0 \) нет. --- ### Шаг 4: Анализ поведения функции на границах и в области Поскольку критических точек нет, искомый максимум может достигаться на границе области и при стремлении функции к экстремам при больших или малых \( x \). - При \( x \to 0^+ \): \( \ln x \to -\infty \), следовательно, \( -4 \ln x \to +\infty \). Тогда \( y \to +\infty \). То есть, функция возрастает безгранично при приближении к нулю слева. - При \( x \to +\infty \): \( -x^2 \to -\infty \), другие члены растут медленно или убывают, то есть \( y \to -\infty \). Итак, для очень малых \( x \) (близко к 0), функция стремится к \( +\infty \). --- ### **Вывод**: Функция достигает своего **максимума при \( x \to 0^+ \)**, причем ячейка значения функции в этом пределе — очень большое число. --- ### **Ответ:** **Точка максимума функции — при очень малых \( x \), приближающихся к 0 (то есть, «на границе» области определения). На практике, максимум достигается на границе \( x \to 0^+ \), где \( y \to +\infty \).** --- Если нужно, я могу помочь вам с конкретным приближением или графиком.