Дисциплина: БД. 07 Математика Билет 35 1. Сформулировать теорему Ферма. 2. Доказать, что в правильной четырёхугольной призме ABCDA,B,CD, угол между АС и АСт равен углу между АС, и плоскостью АВС.

Билет 35: БД. 07 Математика 1. Формулировка теоремы Ферма: **Теорема Ферма** (форма теоремы Ферма или Великая теорема Ферма): Для целых чисел \(a, b, c\) и натурального числа \, \(n > 2\), уравнение \[ a^n + b^n = c^n \] не имеет решений, отличных от тривиальных (когда \(abc = 0\) или одно из чисел равно нулю). Иначе говоря, **не существует целых не нулевых решений уравнения \(a^n + b^n = c^n\)** при \(n > 2\). **Примечание:** Это классическая формулировка Великой теоремы Ферма, доказанная Эндрю Вайлсом в 1994 году. --- 2. Доказательство, что в правильной четырёхугольной призме \(ABCD, B, CD\), угол между диагональю \(AC\) и ребром \(A S\) равен углу между диагональю \(AC\) и плоскостью \(A B C\). **Условие:** - \(ABCD\) — квадрат или прямоугольник, основание призмы. - \(A S\) — высота призмы (либо ребро, перпендикулярное основанию, если призма правильная). **Задача:** Показать, что угол между диагональю \(AC\) и ребром \(A S\) равен углу между диагональю \(AC\) и плоскостью \(A B C\). **Доказательство:** 1. Обозначим: - \(A, B, C, D\) — вершины основания. - \(S\) — вершина верхнего основания, перпендикулярная точке \(D\). 2. Восстановим геометрическую картину: - В правильной четырёхугольной призме \(ABCD, B, CD\): - Основание — квадрат \(ABCD\). - Высота \(A S\) — перпендикуляр к плоскости основания. 3. Рассмотрим диагональ \(A C\): - Она лежит в плоскости основания (квадрата). - Векторы: \(\vec{A C} = \vec{C} - \vec{A}\). 4. Для угла между \(A C\) и ребром \(A S\): - \(\vec{A S}\) — вертикальный вектор, перпендикулярный основанию (высота). 5. Угол между диагональю \(A C\) и \(A S\): - Обозначим этот угол как \(\angle \alpha\). - Он равен углу между вектором \(\vec{A C}\) и вектором \(\vec{A S}\). 6. Угол между \(\vec{A C}\) и плоскостью \(A B C\): - Его можно определить как угол между \(\vec{A C}\) и нормалью к плоскости \(A B C\). - Нормаль к плоскости основания \(\vec{n}\) совпадает с вектором, перпендикулярным плоскости квадратного основания, например, вектором вдоль высоты \(A S\). 7. Следовательно: - В силу симметрии и правильной геометрии призмы, угол между \(\vec{A C}\) и \(A S\) (перпендикуляр к основанию) совпадает с углом между \(\vec{A C}\) и плоскостью \(A B C\). - То есть, угол между диагональю \(A C\) и ребром \(A S\) равен углу между диагональю \(A C\) и плоскостью основания, поскольку \(A S\) — перпендикуляр к основанию, а диагональ лежит в основании. **Заключение:** - В правильной четырёхугольной призме угол между диагональю \(A C\) и ребром \(A S\) равен углу между диагональю \(A C\) и плоскостью \(A B C\). --- Если нужны дополнительные пояснения или подробные чертежи, я готов помочь!