Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 ч меньше. скорость лодки в неподвижной воде равна 9 км/ч, найдите…

Обозначим:

• \(v_b = 9 \text{ км/ч}\) — скорость лодки в неподвижной воде.
• \(v_{реки} = x \text{ км/ч}\) — скорость течения реки.
• \(t_1\) — время прохождения против течения.
• \(t_2\) — время возвращения по течению.

Из условий задачи:

• Расстояние в обоих направлениях: 77 км.
• Время на обратный путь (по течению) меньше на 4 часа: \(t_1 - t_2 = 4\).

Составим выражения для времени в каждом случае:

\[ t_1 = \frac{77}{v_b + v_{реки}} = \frac{77}{9 + x} \] \[ t_2 = \frac{77}{v_b - v_{реки}} = \frac{77}{9 - x} \]

По условию:

\[ t_1 - t_2 = 4 \]

Подставим выражения:

\[ \frac{77}{9 + x} - \frac{77}{9 - x} = 4 \]

Объединим левую часть сложением дробей:

\[ 77 \left( \frac{1}{9 + x} - \frac{1}{9 - x} \right) = 4 \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ 77 \left( \frac{(9 - x) - (9 + x)}{(9 + x)(9 - x)} \right) = 4 \]

В числителе:

\[ (9 - x) - (9 + x) = 9 - x - 9 - x = -2x \]

В знаменателе:

\[ (9 + x)(9 - x) = 81 - x^2 \]

Подставим:

\[ 77 \cdot \frac{-2x}{81 - x^2} = 4 \]

Это равносильно:

\[ \frac{-154 x}{81 - x^2} = 4 \]

Упростим:

\[ -154 x = 4 (81 - x^2) \]

Раскроем скобки:

\[ -154 x = 324 - 4 x^2 \]

Перенесем всё в левую сторону:

\[ -154 x + 4 x^2 - 324 = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ 4 x^2 - 154 x - 324 = 0 \]

Поделим всё на 2 для удобства:

\[ 2 x^2 - 77 x - 162 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант:

\[ D = (-77)^2 - 4 \times 2 \times (-162) = 5929 + 1296 = 7225 \]

Корень дисриминанта:

\[ \sqrt{7225} = 85 \]

Решения:

\[ x = \frac{77 \pm 85}{2 \times 2} = \frac{77 \pm 85}{4} \]

Два варианта:

1. \(x = \frac{77 + 85}{4} = \frac{162}{4} = 40.5\)

2. \(x = \frac{77 - 85}{4} = \frac{-8}{4} = -2\)

Так как скорость течения не может быть отрицательной, принимаем:

\[ v_{реки} = x = 40.5 \text{ км/ч} \]

Ответ: скорость течения реки равна 40.5 км/ч.