Обозначим:
- (v_b = 9 \text{ км/ч}) — скорость лодки в неподвижной воде.
- (v_{реки} = x \text{ км/ч}) — скорость течения реки.
- (t_1) — время прохождения против течения.
- (t_2) — время возвращения по течению.
Из условий задачи:
- Расстояние в обоих направлениях: 77 км.
- Время на обратный путь (по течению) меньше на 4 часа: (t_1 - t_2 = 4).
Составим выражения для времени в каждом случае:
[
t_1 = \frac{77}{v_b + v_{реки}} = \frac{77}{9 + x}
]
[
t_2 = \frac{77}{v_b - v_{реки}} = \frac{77}{9 - x}
]
По условию:
[
t_1 - t_2 = 4
]
Подставим выражения:
[
\frac{77}{9 + x} - \frac{77}{9 - x} = 4
]
Объединим левую часть сложением дробей:
[
77 \left( \frac{1}{9 + x} - \frac{1}{9 - x} \right) = 4
]
Приведем к общему знаменателю:
[
77 \left( \frac{(9 - x) - (9 + x)}{(9 + x)(9 - x)} \right) = 4
]
В числителе:
[
(9 - x) - (9 + x) = 9 - x - 9 - x = -2x
]
В знаменателе:
[
(9 + x)(9 - x) = 81 - x^2
]
Подставим:
[
77 \cdot \frac{-2x}{81 - x^2} = 4
]
Это равносильно:
[
\frac{-154 x}{81 - x^2} = 4
]
Упростим:
[
-154 x = 4 (81 - x^2)
]
Раскроем скобки:
[
-154 x = 324 - 4 x^2
]
Перенесем всё в левую сторону:
[
-154 x + 4 x^2 - 324 = 0
]
Упростим уравнение:
[
4 x^2 - 154 x - 324 = 0
]
Поделим всё на 2 для удобства:
[
2 x^2 - 77 x - 162 = 0
]
Решим квадратное уравнение:
Дискриминант:
[
D = (-77)^2 - 4 \times 2 \times (-162) = 5929 + 1296 = 7225
]
Корень дисриминанта:
[
\sqrt{7225} = 85
]
Решения:
[
x = \frac{77 \pm 85}{2 \times 2} = \frac{77 \pm 85}{4}
]
Два варианта:
(x = \frac{77 + 85}{4} = \frac{162}{4} = 40.5)
(x = \frac{77 - 85}{4} = \frac{-8}{4} = -2)
Так как скорость течения не может быть отрицательной, принимаем:
[
v_{реки} = x = 40.5 \text{ км/ч}
]
Ответ: скорость течения реки равна 40.5 км/ч.
