Рассмотрим задачу по шагам, так как она касается термодинамики идеального газа.
Дано:
- Первый процесс: изобарное расширение (давление постоянное) с изменением объема в 3 раза.
- Второй процесс: изохорное нагревание (объем постоянен) с увеличением давления в 2,5 раза.
- Начальная температура: ( T_0 = 250, \text{К} ).
- Газ одатомный: (\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5}{3}).
- Газовая постоянная: ( R = 8,31, \text Дж/(моль \cd*K) ).
Шаг 1. Определение состояния 1
Пусть:
- ( p_1, V_1, T_1 = T_0 = 250, \text{К} ).
Используем уравнение состояния:
[
pV = nRT,
]
но так как нам нужны относительные изменения, можно оперировать лишь со отношениями.
Шаг 2. Процесс 1 — изобарное расширение
В состоянии 1: ( p_1, V_1, T_1 ).
В состоянии 2: ( p_2, V_2, T_2 ).
Из условия: ( V_2 = 3 V_1 ).
Так как процесс — изобарный, давление ( p_2 = p_1 ).
Также в изобарном процессе используют уравнение уравнения состояния:
[
T_2 = T_1 \times \frac{V_2}{V_1} = 250, \text{К} \times 3 = 750, \text{К}.
]
Шаг 3. Работа, совершенная при изобарном расширении
Работа (произведение давления на изменение объема):
[
A_{1 \to 2} = p_1 (V_2 - V_1) = p_1 (3V_1 - V_1) = 2 p_1 V_1.
]
Используем уравнение состояния для состояния 1:
[
p_1 V_1 = n R T_1.
]
Тогда
[
p_1 V_1 = n \times 8,31 \times 250 = n \times 2077.5, \text{Дж}.
]
Следовательно:
[
A_{1 \to 2} = 2 p_1 V_1 = 2 \times n \times 2077.5 = n \times 4155, \text{Дж}.
]
Шаг 4. Изменение внутренней энергии при процессе 1
Для идеального одноатомного газа:
[
\Delta U_{1 \to 2} = n C_v (T_2 - T_1).
]
Где
[
C_v = \frac{3}{2} R = \frac{3}{2} \times 8,31 = 12,465, \text{Дж/(моль·К)}.
]
Путем подстановки:
[
\Delta U_{1 \to 2} = n \times 12,465 \times (750 - 250) = n \times 12,465 \times 500 = n \times 6232.5, \text{Дж}.
]
Шаг 5. Теплота, полученная за первый процесс — по первому закону термодинамики:
[
Q_{1 \to 2} = \Delta U_{1 \to 2} + A_{1 \to 2}.
]
Подставим значения:
[
Q_{1 \to 2} = n \times 6232.5 + n \times 4155 = n \times (6232.5 + 4155) = n \times 10,387.5, \text{Дж}.
]
Шаг 6. Процесс 2 — изохорное нагревание
В состоянии 2: ( p_2, V_2, T_2 = 750 \text{К} ).
В состоянии 3: ( p_3, V_3, T_3 ).
Из условия: давление увеличилось в 2,5 раза:
[
p_3 = 2.5 p_2.
]
Объем остался постоянным: ( V_3 = V_2 ).
Используем уравнение состояния для состояния 3:
[
p_3 V_3 = n R T_3 \Rightarrow T_3 = \frac{p_3 V_3}{n R} = \frac{2.5 p_2 V_2}{n R}.
]
Но из состояния 2:
[
p_2 V_2 = n R T_2,
]
поэтому:
[
T_3 = 2.5 \times T_2 = 2.5 \times 750 = 1875, \text{К}.
]
Шаг 7. Изменения внутренней энергии при переходе 2-3
[
\Delta U_{2 \to 3} = n C_v (T_3 - T_2) = n \times 12.465 \times (1875 - 750) = n \times 12.465 \times 1125 \approx n \times 14,025, \text{Дж}.
]
Шаг 8. Теплота, полученная за второй процесс
Так как процесс — изохорный:
[
Q_{2 \to 3} = \Delta U_{2 \to 3} = n \times 14,025, \text{Дж}.
]
Итоговая теплота:
Общая теплота, полученная газом в обоих процессах:
[
Q_{итого} = Q_{1 \to 2} + Q_{2 \to 3} = n \times (10,387.5 + 14,025) = n \times 24,412.5, \text{Дж}.
]
Ответ:
Количество молей газа (n) в условии не указано. Обычно в задачах подразумевается один моль, то есть ( n=1 ).
Если (n=1), то:
[
\boxed{
Q_{итого} \approx 24,413, \text{Дж}.
}
]
