Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти скорость течения реки.
Дано:
- Расстояние против течения = 77 км
- Время, затраченное на обратный путь (по течению) меньше времени против течения на 4 часа
- Скорость лодки в неподвижной воде = 9 км/ч
- Требуется найти скорость течения реки (обозначим ее как ( v ))
Обозначим:
- ( v ) — скорость течения реки (км/ч)
- ( t_1 ) — время, затраченное на путь против течения
- ( t_2 ) — время, затраченное на путь по течению
По условию:
[
t_1 = t_2 + 4
]
Теперь запишемExpress-уравнения для времени прохождения пути:
Для против течения:
[
t_1 = \frac{77}{9 - v}
]
Для по течению:
[
t_2 = \frac{77}{9 + v}
]
По условию:
[
\frac{77}{9 - v} = \frac{77}{9 + v} + 4
]
Решим это уравнение.
Шаг 1: упростим уравнение, сократив на 77:
[
\frac{1}{9 - v} = \frac{1}{9 + v} + \frac{4}{77}
]
Шаг 2: приведем левую и правую части к общему знаменателю:
[
\frac{1}{9 - v} - \frac{1}{9 + v} = \frac{4}{77}
]
Шаг 3: найдем разность дробей слева:
[
\frac{(9 + v) - (9 - v)}{(9 - v)(9 + v)} = \frac{4}{77}
]
Обратите внимание, что числитель — это:
[
9 + v - 9 + v = 2v
]
И знаменатель — это разность произведений:
[
(9)^2 - v^2 = 81 - v^2
]
Тогда получаем:
[
\frac{2v}{81 - v^2} = \frac{4}{77}
]
Шаг 4: решим это уравнение относительно ( v ):
Перемножим крест-накрест:
[
2v \times 77 = 4 \times (81 - v^2)
]
Раскроем скобки:
[
154v = 4 \times 81 - 4v^2
]
[
154v = 324 - 4v^2
]
Перенесем все в левую сторону:
[
4v^2 + 154v - 324 = 0
]
Разделим всю формулу на 2 для упрощения:
[
2v^2 + 77v - 162 = 0
]
Это квадратное уравнение. Решим его по формуле:
[
v = \frac{-77 \pm \sqrt{77^2 - 4 \times 2 \times (-162)}}{2 \times 2}
]
Вычислим дискриминант:
[
D = 77^2 - 4 \times 2 \times (-162) = 5929 + 1296 = 7225
]
Найдем корень из дискриминанта:
[
\sqrt{7225} = 85
]
Подставляем в формулу:
[
v = \frac{-77 \pm 85}{4}
]
Получаем два возможных значения:
- [
v = \frac{-77 + 85}{4} = \frac{8}{4} = 2
]
- [
v = \frac{-77 - 85}{4} = \frac{-162}{4} = -40,5
]
Поскольку скорость течения не может быть отрицательной, принимаем только положительный ответ:
[
\boxed{v = 2 \text{ км/ч}}
]
Ответ:
Скорость течения реки равна 2 км/ч.
