найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 7
Давайте решим задачу пошагово.
Задача: найти сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 7.
Шаг 1: определить диапазон двузначных чисел.
Двузначные числа — это числа от 10 до 99 включительно.
Шаг 2: найти все числа в этом диапазоне, которые при делении на 13 дают остаток 7.
Обозначим искомое число как \( n \).
Это условие:
\[ n \equiv 7 \pmod{13} \]
или
\[ n = 13k + 7 \]
где \( k \) — целое число.
Шаг 3: найти все значения \( n \) в диапазоне 10 ≤ \( n \) ≤ 99, для которых выполняется равенство:
\[ 10 \leq 13k + 7 \leq 99 \]
Решим неравенства:
\( 13k + 7 \geq 10 \)
\( 13k \geq 3 \)
\( k \geq \frac{3}{13} \)
Так как \( k \) — целое число, то \( k \geq 1 \).\( 13k + 7 \leq 99 \)
\( 13k \leq 92 \)
\( k \leq \frac{92}{13} \approx 7.07 \)Значит, \( k \leq 7 \).
Теперь все возможные значения \( k \): от 1 до 7 включительно.
Шаг 4: найти соответствующие числа \( n \):
- Для \( k=1 \): \( n=13 \times 1 +7=20 \)
- Для \( k=2 \): \( n=26 +7=33 \)
- Для \( k=3 \): \( 39 +7=46 \)
- Для \( k=4 \): \( 52 +7=59 \)
- Для \( k=5 \): \( 65 +7=72 \)
- Для \( k=6 \): \( 78 +7=85 \)
- Для \( k=7 \): \( 91 +7=98 \)
Все эти числа — двузначные и соответствуют условию.
Шаг 5: найдём сумму этих чисел:
\[ 20 + 33 + 46 + 59 + 72 + 85 + 98 \]
Давайте посчитаем:
- \( 20 + 33 = 53 \)
- \( 53 + 46 = 99 \)
- \( 99 + 59 = 158 \)
- \( 158 + 72 = 230 \)
- \( 230 + 85 = 315 \)
- \( 315 + 98 = 413 \)
Ответ: сумма всех двузначных натуральных чисел, делящихся на 13 с остатком 7, равна 413.
