Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 7

Давайте решим задачу пошагово. Задача: найти сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 7. Шаг 1: определить диапазон двузначных чисел. Двузначные числа — это числа от 10 до 99 включительно. Шаг 2: найти все числа в этом диапазоне, которые при делении на 13 дают остаток 7. Обозначим искомое число как \( n \). Это условие: \[ n \equiv 7 \pmod{13} \] или \[ n = 13k + 7 \] где \( k \) — целое число. Шаг 3: найти все значения \( n \) в диапазоне 10 ≤ \( n \) ≤ 99, для которых выполняется равенство: \[ 10 \leq 13k + 7 \leq 99 \] Решим неравенства: 1. \( 13k + 7 \geq 10 \) \( 13k \geq 3 \) \( k \geq \frac{3}{13} \) Так как \( k \) — целое число, то \( k \geq 1 \). 2. \( 13k + 7 \leq 99 \) \( 13k \leq 92 \) \( k \leq \frac{92}{13} \approx 7.07 \) Значит, \( k \leq 7 \). Теперь все возможные значения \( k \): от 1 до 7 включительно. Шаг 4: найти соответствующие числа \( n \): - Для \( k=1 \): \( n=13 \times 1 +7=20 \) - Для \( k=2 \): \( n=26 +7=33 \) - Для \( k=3 \): \( 39 +7=46 \) - Для \( k=4 \): \( 52 +7=59 \) - Для \( k=5 \): \( 65 +7=72 \) - Для \( k=6 \): \( 78 +7=85 \) - Для \( k=7 \): \( 91 +7=98 \) Все эти числа — двузначные и соответствуют условию. Шаг 5: найдём сумму этих чисел: \[ 20 + 33 + 46 + 59 + 72 + 85 + 98 \] Давайте посчитаем: - \( 20 + 33 = 53 \) - \( 53 + 46 = 99 \) - \( 99 + 59 = 158 \) - \( 158 + 72 = 230 \) - \( 230 + 85 = 315 \) - \( 315 + 98 = 413 \) **Ответ:** сумма всех двузначных натуральных чисел, делящихся на 13 с остатком 7, равна **413**.