Постройте график функции ( )( ) 4 2 y = x x x x − + − + 13 36 3 2 и определите, при каких значениях с прямая y c = имеет с графиком ровно одну общую точку.
Понял задачу. Давайте по шагам разберемся, как построить график функции и найти значения параметра \( c \), для которых прямая \( y = c \) касается графика функции в одной точке (то есть касательная).
Шаг 1: Запись исходной функции
Дана функция:
\[ y = \frac{x^4 - x^2 + 13}{x^3 - 36} \]
Шаг 2: Построение графика функции
Для построения графика важно понять, что это за функция:
- Область определения: все значения \( x \), при которых знаменатель не равен нулю:
\[ x^3 - 36 \neq 0 \Rightarrow x \neq \sqrt[3]{36} \approx 3.30 \]
- Поведение при больших \( |x| \): поскольку числитель — четвертой степени, а знаменатель — третьей, при больших \( |x| \):
\[ y \approx \frac{x^4}{x^3} = x \]
то есть график ведет себя примерно как прямая \( y = x \).
Шаг 3: Анализ касания прямой \( y = c \) с графиком функции
Чтобы прямая \( y = c \) касалась графика функции в одной точке, эти точки должны удовлетворять двум условиям:
Точка принадлежит графику:
\[ c = \frac{x^4 - x^2 + 13}{x^3 - 36} \]В этой точке касания наклон графика равен наклону прямой:
\[ \frac{dy}{dx} = 0 \] поскольку график касаться горизонтальной прямой \( y = c \) означает, что в точке касания горизонтальная касательная, то есть производная равна нулю:
\[ \frac{dy}{dx} = 0 \]
Шаг 4: Нахождение производной функции
Обозначим:
\[ y = \frac{f(x)}{g(x)} \quad \text{где} \quad f(x) = x^4 - x^2 + 13, \quad g(x) = x^3 - 36 \]
Используем формулу для производной дроби:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \]
Вычислим производные:
\[ f'(x) = 4x^3 - 2x \] \[ g'(x) = 3x^2 \]
Тогда:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{(4x^3 - 2x)(x^3 - 36) - (x^4 - x^2 + 13)(3x^2)}{(x^3 - 36)^2} \]
Для касания — условие:
\[ \frac{dy}{dx} = 0 \]
следовательно, числитель равен нулю:
\[ (4x^3 - 2x)(x^3 - 36) - (x^4 - x^2 + 13)(3x^2) = 0 \]
Шаг 5: Решение уравнения для \( \frac{dy}{dx} = 0 \)
Раскроем скобки:
\[ (4x^3 - 2x)(x^3 - 36) = 4x^3(x^3 - 36) - 2x(x^3 - 36) \] \[ = 4x^3 \cdot x^3 - 4x^3 \cdot 36 - 2x \cdot x^3 + 2x \cdot 36 \] \[ = 4x^6 - 144x^3 - 2x^4 + 72x \]
Вторая часть:
\[ (x^4 - x^2 + 13)(3x^2) = 3x^2 \cdot x^4 - 3x^2 \cdot x^2 + 3x^2 \cdot 13 \] \[ = 3x^6 - 3x^4 + 39x^2 \]
Теперь запишем уравнение:
\[ \left(4x^6 - 144x^3 - 2x^4 + 72x\right) - \left(3x^6 - 3x^4 + 39x^2\right) = 0 \]
Объединим подобные члены:
\[ 4x^6 - 3x^6 = x^6 \] \[ - 2x^4 + 3x^4 = x^4 \] \[ - 144x^3 \] \[ + 72x \] \[ - 39x^2 \]
Итак, получаем:
\[ x^6 + x^4 - 144x^3 - 39x^2 + 72x = 0 \]
Шаг 6: Нахождение решений уравнения
Вынесем общий множитель \( x \):
\[ x (x^5 + x^3 - 144x^2 - 39x + 72) = 0 \]
Это дает первое решение:
\[ x=0 \]
Далее рассматриваем:
\[ x^5 + x^3 - 144x^2 - 39x + 72 = 0 \]
Это сложное уравнение, и, чтобы его решить, можно попробовать найти целые корни по теореме Виета или сделать замену. Попробуем проверить возможные делители свободного члена (72):
Потенциальные рациональные корни: \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm8, \pm9, \pm12, \pm18, \pm24, \pm36, \pm72\).
Проверим подстановкой \( x=1 \):
\[ 1 + 1 - 144 - 39 + 72 = (1+1+72) - (144 + 39) = 74 - 183 = -109 \neq 0 \]
\( x=-1 \):
\[ -1 + (-1) - 144(1) - 39(-1) + 72 = -1 -1 - 144 + 39 +72 = -2 -144 + 111 = -146 +111 = -35 \neq 0 \]
Пробуем \( x=2 \):
\[ 32 +8 - 144(4) - 39(2) + 72 = 40 - 576 - 78 + 72 = (40 +72) - (576 +78) = 112 - 654 = -542 \neq 0 \]
\( x=3 \):
\[ 243 + 27 - 144(9) - 39(3) + 72 = 270 - 1296 - 117 + 72 = (270 +72) - (1296 +117) = 342 - 1413 = -1071 \neq 0 \]
Обратимся к другим делителям, например, \( x=6 \):
\[ 6^5 + 6^3 - 144 \cdot 36 - 39 \cdot 6 + 72 \] \[ = 7776 + 216 - 144 \times 36 - 234 + 72 \] \[ = 7992 - 5184 - 234 + 72 \] \[ = (7992 + 72) - (5184 + 234) = 8064 - 5418 = 2646 \neq 0 \]
Аналогично проверим \( x=-6 \):
\[ -7776 - 216 - 144 \times 36 + 234 + 72 \] \[ = -7992 + 234 + 72 - 5184 \] \[ = (-7992 + 234 + 72) - 5184 = (-7686) - 5184 = -12870 \neq 0 \]
Поскольку рациональных корней, похоже, нет, корни этого уравнения могут быть иррациональными или комплексными.
Шаг 7: Обратимся к условию касания
Для каждого найденного \( x \), где \( \frac{dy}{dx} = 0 \), соответствующее \( y \) дается по формуле:
\[ y = \frac{x^4 - x^2 + 13}{x^3 - 36} \]
Чтобы найти значения \( c \), при которых прямая \( y=c \) касается функции, необходимо взять эти точки и вычислить \( y \).
Итоговые выводы:
- Для \( x=0 \):
\[ y = \frac{0 - 0 + 13}{0 - 36} = \frac{13}{-36} = -\frac{13}{36} \]
Касание происходит при:
\[ c = -\frac{13}{36} \]
- Для других решений уравнения для \( \frac{dy}{dx} = 0 \) необходимо или численно найти значения \( x \), или оставить как часть общего решения.
Ответ:
Значения \( c \), при которых прямая \( y=c \) касается графика функции один раз, равны \( c = -\frac{13}{36} \) и значениями \( y \), соответствующими другим решениями уравнения для \( \frac{dy}{dx} =0 \).
--
Если нужно точное значение \( c \) для других корней, потребуется численное решение или дополнительные методы.
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с конкретными числовыми ответами — скажите!
