В правильной четырёхугольный пирамиде высота равна 6 м объем равен 200 м кубических найдите боковое ребро этой пирамиды
Дано:
- Высота \(h = 6\,м\)
- Объем \(V = 200\,м^3\)
Обозначения:
- Боковое ребро — \(l\)
- Базовая сторона квадрата — \(a\)
Шаги решения:
- Выразим сторону основания \(a\).
Объем правильной пирамиды с квадратным основанием:
\[ V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h = \frac{1}{3} \times a^2 \times h \]
Подставляя известные значения:
\[ 200 = \frac{1}{3} \times a^2 \times 6 \]
\[ 200 = 2 \times a^2 \]
\[ a^2 = \frac{200}{2} = 100 \]
\[ a = \sqrt{100} = 10\,м \]
- Найдём высоту апофизы (\\(s\)) — линию, соединяющую вершину с центром основания.
В основании — квадрат со стороной \(a=10\,м\), центр основания — точка \(O\).
Расстояние от центра основания до любой вершины основания — половина диагонали квадрата:
\[ d_{diagonal} = a \sqrt{2} = 10 \sqrt{2}\,м \]
Значит,
\[ r = \frac{d_{diagonal}}{2} = 5 \sqrt{2}\,м \]
- Расположим систему координат:
- Вершина пирамиды по координате \(S\)
- Центр основания \(O\) в начале координат
Высота \(h=6\,м\). Вершина \(S\) находится прямо над центром основания, а боковое ребро — от вершины к любой вершине основания.
- Образуем прямоугольный треугольник \(S O P\):
- \(S O\) — высота = 6 м
- Расстояние от \(O\) до вершины основания — \(r = 5 \sqrt{2}\) м
Длина бокового ребра \(l\) — гипотенуза этого треугольника, соединяющая вершину и вершину основания:
\[ l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{6^2 + (5 \sqrt{2})^2} \]
Расчёты:
\[ (5 \sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50 \]
Следовательно:
\[ l = \sqrt{36 + 50} = \sqrt{86} \]
Ответ:
\[ l = \sqrt{86} \approx 9.27\,м \]
Итог: боковое ребро пирамиды равно примерно 9.27 метров.
