Найти изменение перепада давления ∆Р при увеличении радиуса скважины вдвое, при котором дебит Q остается прежним. Радиус контура питания Rк = 700 м. Радиус скважины Rс = 0,13 м.…

Давайте подробно разберем задачу и найдём изменение перепада давления \( \Delta P \) при увеличении радиуса скважины вдвое, при условии, что дебит \( Q \) остается постоянным.

Дано:

• Радиус контура питания: \( R_k = 700\,м \)
• Первоначальный радиус скважины: \( R_s = 0,13\,м \)
• Закон фильтрации — закон Дарси
• Требуется определить, как изменится \( \Delta P \) при удвоении радиуса скважины (то есть, \( R_s' = 2 R_s = 0,26\,м \)), при условии, что дебит \( Q \) не меняется.

---

1. Закон Дарси и формула для дебита

В случае горизонтальной скважины, фильтрация под давлением по закону Дарси выражается в виде:

\[ Q = \frac{2 \pi k h \Delta P}{\mu \ln \left( \frac{R_k}{R_s} \right)} \]

где:

• \( Q \) — дебит
• \( k \) — коэффициент фильтрации
• \( h \) — толщина фильтрационного слоя или гидравлическая толщина
• \( \Delta P \) — перепад давления
• \( \mu \) — динамическая вязкость жидкости (учитывается внутри констант, поскольку по задаче не меняется)
• \( R_k \) — радиус контура питания
• \( R_s \) — радиус скважины

Зависимость \( Q \) от \( R_s \) и \( \Delta P \):

\[ Q \propto \frac{\Delta P}{\ln \left( \frac{R_k}{R_s} \right)} \]

или

\[ Q = C \frac{\Delta P}{\ln \left( \frac{R_k}{R_s} \right)} \]

где \( C = 2 \pi k h / \mu \) — постоянная (при условии, что \( k, h, \mu \) не меняются).

---

2. Выражение для перепада давления \( \Delta P \)

Обратим внимание: при постоянном \( Q \), \( R_k \), и постоянных характеристиках системы:

\[ \Delta P = Q \cdot \frac{1}{C} \ln \left( \frac{R_k}{R_s} \right) \]

или в виде:

\[ \Delta P \propto \ln \left( \frac{R_k}{R_s} \right) \]

Это означает, что перепад давления пропорционален логарифму отношения радиусов.

---

3. Исходное значение \( \Delta P \)

Обозначим исходный перепад давления как \( \Delta P_1 \):

\[ \Delta P_1 \propto \ln \left( \frac{R_k}{R_s} \right) \]

После удвоения радиуса скважины радиус станет \( R_s' = 2 R_s \), и перепад давления станет:

\[ \Delta P_2 \propto \ln \left( \frac{R_k}{2 R_s} \right) \]

4. Расчет соотношения

Нас интересует отношение:

\[ \frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} = \frac{\ln \left( \frac{R_k}{2 R_s} \right)}{\ln \left( \frac{R_k}{R_s} \right)} \]

Подставим значения:

\[ \begin{aligned} \text{Исходное } \Delta P_1 &\propto \ln \left( \frac{700}{0,13} \right) \\ \text{Новое } \Delta P_2 &\propto \ln \left( \frac{700}{2 \times 0,13} \right) = \ln \left( \frac{700}{0,26} \right) \end{aligned} \]

Посчитаем логарифмы:

\[ \ln \left( \frac{700}{0,13} \right) \approx \ln(5384.615) \approx 8.592 \]

\[ \ln \left( \frac{700}{0,26} \right) \approx \ln(2692.308) \approx 7.899 \]

Теперь найдем отношение:

\[ \frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} \approx \frac{7.899}{8.592} \approx 0.919 \]

Это означает, что при увеличении радиуса скважины вдвое, перепад давления уменьшится примерно на 8.1%.

5. Итоговый ответ

При увеличении радиуса скважины вдвое, чтобы дебит остался неизменным, перепад давления \( \Delta P \) уменьшится примерно на 8%.

---

Если нужно, я могу помочь с более точными расчетами или дополнительными разъяснениями!