Найти изменение перепада давления ∆Р при увеличении радиуса скважины вдвое, при котором дебит Q остается прежним. Радиус контура питания Rк = 700 м. Радиус скважины Rс = 0,13 м. Фильтрация жидкости происходит по закону Дарси.

Давайте подробно разберем задачу и найдём изменение перепада давления \( \Delta P \) при увеличении радиуса скважины вдвое, при условии, что дебит \( Q \) остается постоянным. **Дано:** - Радиус контура питания: \( R_k = 700\,м \) - Первоначальный радиус скважины: \( R_s = 0,13\,м \) - Закон фильтрации — закон Дарси - Требуется определить, как изменится \( \Delta P \) при удвоении радиуса скважины (то есть, \( R_s' = 2 R_s = 0,26\,м \)), при условии, что дебит \( Q \) не меняется. --- ## 1. Закон Дарси и формула для дебита В случае горизонтальной скважины, фильтрация под давлением по закону Дарси выражается в виде: \[ Q = \frac{2 \pi k h \Delta P}{\mu \ln \left( \frac{R_k}{R_s} \right)} \] где: - \( Q \) — дебит - \( k \) — коэффициент фильтрации - \( h \) — толщина фильтрационного слоя или гидравлическая толщина - \( \Delta P \) — перепад давления - \( \mu \) — динамическая вязкость жидкости (учитывается внутри констант, поскольку по задаче не меняется) - \( R_k \) — радиус контура питания - \( R_s \) — радиус скважины Зависимость \( Q \) от \( R_s \) и \( \Delta P \): \[ Q \propto \frac{\Delta P}{\ln \left( \frac{R_k}{R_s} \right)} \] или \[ Q = C \frac{\Delta P}{\ln \left( \frac{R_k}{R_s} \right)} \] где \( C = 2 \pi k h / \mu \) — постоянная (при условии, что \( k, h, \mu \) не меняются). --- ## 2. Выражение для перепада давления \( \Delta P \) Обратим внимание: при постоянном \( Q \), \( R_k \), и постоянных характеристиках системы: \[ \Delta P = Q \cdot \frac{1}{C} \ln \left( \frac{R_k}{R_s} \right) \] или в виде: \[ \Delta P \propto \ln \left( \frac{R_k}{R_s} \right) \] Это означает, что перепад давления пропорционален логарифму отношения радиусов. --- ## 3. Исходное значение \( \Delta P \) Обозначим исходный перепад давления как \( \Delta P_1 \): \[ \Delta P_1 \propto \ln \left( \frac{R_k}{R_s} \right) \] После удвоения радиуса скважины радиус станет \( R_s' = 2 R_s \), и перепад давления станет: \[ \Delta P_2 \propto \ln \left( \frac{R_k}{2 R_s} \right) \] ## 4. Расчет соотношения Нас интересует отношение: \[ \frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} = \frac{\ln \left( \frac{R_k}{2 R_s} \right)}{\ln \left( \frac{R_k}{R_s} \right)} \] Подставим значения: \[ \begin{aligned} \text{Исходное } \Delta P_1 &\propto \ln \left( \frac{700}{0,13} \right) \\ \text{Новое } \Delta P_2 &\propto \ln \left( \frac{700}{2 \times 0,13} \right) = \ln \left( \frac{700}{0,26} \right) \end{aligned} \] Посчитаем логарифмы: \[ \ln \left( \frac{700}{0,13} \right) \approx \ln(5384.615) \approx 8.592 \] \[ \ln \left( \frac{700}{0,26} \right) \approx \ln(2692.308) \approx 7.899 \] Теперь найдем отношение: \[ \frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} \approx \frac{7.899}{8.592} \approx 0.919 \] Это означает, что при увеличении радиуса скважины вдвое, перепад давления уменьшится примерно на 8.1%. ## 5. Итоговый ответ **При увеличении радиуса скважины вдвое, чтобы дебит остался неизменным, перепад давления \( \Delta P \) уменьшится примерно на 8%.** --- Если нужно, я могу помочь с более точными расчетами или дополнительными разъяснениями!