Решите уравнение

Давайте подробно разберемся с этим уравнением: \[ \sqrt{4 + x} \cdot \sqrt{5 - x} = 2 \sqrt{2} \] Шаг 1: Обозначим выражения под корнями Обозначим: \[ A = \sqrt{4 + x} \\ B = \sqrt{5 - x} \] Тогда уравнение запишется как: \[ A \cdot B = 2 \sqrt{2} \] Шаг 2: Запишем исходное уравнение через A и B \[ A \cdot B = 2 \sqrt{2} \] Также заметим, что: \[ A^2 = 4 + x \\ B^2 = 5 - x \] Шаг 3: Используем формулу для умножения корней Значения A и B — это корни, и их произведение равно: \[ A \cdot B = \sqrt{A^2 \cdot B^2} \] то есть: \[ A \cdot B = \sqrt{(4 + x)(5 - x)} \] Итак, уравнение можно переписать как: \[ \sqrt{(4 + x)(5 - x)} = 2 \sqrt{2} \] Шаг 4: Возьмем квадраты обеих частей уравнения для избавления от корня: \[ (4 + x)(5 - x) = (2 \sqrt{2})^2 \] Раскроем правую часть: \[ (2 \sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 \] Теперь уравнение: \[ (4 + x)(5 - x) = 8 \] Шаг 5: Раскроем скобки слева: \[ (4 \cdot 5) + (4 \cdot -x) + (x \cdot 5) + (x \cdot -x) = 8 \] Это: \[ 20 - 4x + 5x - x^2 = 8 \] Объединим подобные: \[ 20 + x - x^2 = 8 \] Шаг 6: Перенесем все в левую сторону и упростим: \[ -x^2 + x + 20 - 8 = 0 \] \[ -x^2 + x + 12 = 0 \] Упростим, умножая обе части на -1, чтобы коэффициент перед \(x^2\) был положительным: \[ x^2 - x - 12 = 0 \] Это квадратное уравнение. Шаг 7: Решим квадратное уравнение \(x^2 - x - 12 = 0\) Используем формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=1\), \(b=-1\), \(c=-12\). Подставим: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 7}{2} \] Получаем два варианта: - \(x = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4\) - \(x = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3\) Шаг 8: Проверка решений на исходное уравнение Для каждого найденного значения проверим, что выражения под корнями не отрицательны, и само решение удовлетворяет исходному уравнению. - Проверка \(x=4\): \[ \sqrt{4 + 4} \cdot \sqrt{5 - 4} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{1} = \sqrt{8} \cdot 1 = 2 \sqrt{2} \] Совпадает с правой частью, решение допустимо. - Проверка \(x=-3\): \[ \sqrt{4 + (-3)} \cdot \sqrt{5 - (-3)} = \sqrt{1} \cdot \sqrt{8} = 1 \cdot 2 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \] Также совпадает, решение допустимо. **Ответ:** \[ \boxed{ x = 4 \quad \text{или} \quad x = -3 } \] Если есть ещё вопросы, с радостью помогу!