Решите уравнение
Давайте подробно разберемся с этим уравнением:
\[ \sqrt{4 + x} \cdot \sqrt{5 - x} = 2 \sqrt{2} \]
Шаг 1: Обозначим выражения под корнями
Обозначим:
\[
A = \sqrt{4 + x} \\
B = \sqrt{5 - x}
\]
Тогда уравнение запишется как:
\[
A \cdot B = 2 \sqrt{2}
\]
Шаг 2: Запишем исходное уравнение через A и B
\[
A \cdot B = 2 \sqrt{2}
\]
Также заметим, что:
\[
A^2 = 4 + x \\
B^2 = 5 - x
\]
Шаг 3: Используем формулу для умножения корней
Значения A и B — это корни, и их произведение равно:
\[
A \cdot B = \sqrt{A^2 \cdot B^2}
\]
то есть:
\[
A \cdot B = \sqrt{(4 + x)(5 - x)}
\]
Итак, уравнение можно переписать как:
\[
\sqrt{(4 + x)(5 - x)} = 2 \sqrt{2}
\]
Шаг 4: Возьмем квадраты обеих частей уравнения для избавления от корня:
\[
(4 + x)(5 - x) = (2 \sqrt{2})^2
\]
Раскроем правую часть:
\[
(2 \sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8
\]
Теперь уравнение:
\[
(4 + x)(5 - x) = 8
\]
Шаг 5: Раскроем скобки слева:
\[
(4 \cdot 5) + (4 \cdot -x) + (x \cdot 5) + (x \cdot -x) = 8
\]
Это:
\[
20 - 4x + 5x - x^2 = 8
\]
Объединим подобные:
\[
20 + x - x^2 = 8
\]
Шаг 6: Перенесем все в левую сторону и упростим:
\[
-x^2 + x + 20 - 8 = 0
\]
\[
-x^2 + x + 12 = 0
\]
Упростим, умножая обе части на -1, чтобы коэффициент перед \(x^2\) был положительным:
\[
x^2 - x - 12 = 0
\]
Это квадратное уравнение.
Шаг 7: Решим квадратное уравнение \(x^2 - x - 12 = 0\)
Используем формулу:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
где \(a=1\), \(b=-1\), \(c=-12\).
Подставим:
\[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2}
\]
\[ x = \frac{1 \pm 7}{2} \]
Получаем два варианта:
- \(x = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
- \(x = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
Шаг 8: Проверка решений на исходное уравнение
Для каждого найденного значения проверим, что выражения под корнями не отрицательны, и само решение удовлетворяет исходному уравнению.
- Проверка \(x=4\):
\[ \sqrt{4 + 4} \cdot \sqrt{5 - 4} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{1} = \sqrt{8} \cdot 1 = 2 \sqrt{2} \]
Совпадает с правой частью, решение допустимо.
- Проверка \(x=-3\):
\[ \sqrt{4 + (-3)} \cdot \sqrt{5 - (-3)} = \sqrt{1} \cdot \sqrt{8} = 1 \cdot 2 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \]
Также совпадает, решение допустимо.
Ответ:
\[
\boxed{
x = 4 \quad \text{или} \quad x = -3
}
\]
Если есть ещё вопросы, с радостью помогу!
