При изготовлении подшипников диаметром 75 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что…

Давайте решим задачу пошагово.

Дано:

• Средний диаметр подшипника \( \mu = 75 \text{ мм} \)
• Вероятность, что отклонение диаметров от заданного не превышает 0,01 мм: \( P(|X - 75| \leq 0,01) = 0,961 \)
• Необходимо найти вероятность того, что диаметр подшипника меньше 74,99 мм или больше 75,01 мм, то есть:

\[ P(X < 74,99 \text{ мм} \text{ или } X > 75,01 \text{ мм}) \]

Шаг 1: Определение вероятности по стандартной нормальнойDistribution

Заметим, что вероятности, связанные с отклонением, говорят нам о свойствах нормального распределения. Поскольку вероятность, что \( |X - 75| \leq 0,01 \), равна 0,961, можно считать, что \( X \) — нормально распределенная величина с математическим ожиданием \( \mu = 75 \).

Обозначим:

• Стандартное отклонение: \( \sigma \)
• Стандартизируем переменную:

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

Тогда

\[ P(|X - 75| \leq 0,01) = P\left(-0,01 \leq X - 75 \leq 0,01\right) = P\left(-\frac{0,01}{\sigma} \leq Z \leq \frac{0,01}{\sigma}\right) \]

Обозначим:

\[ k = \frac{0,01}{\sigma} \]

Тогда

\[ P(-k \leq Z \leq k) = 0,961 \]

Шаг 2: Найти \( k \)

Параметр \( k \) — это такое, что площадь под стандартной нормальной кривой между \( -k \) и \( k \) равна 0,961.

Для стандартного нормального распределения:

\[ P(-k \leq Z \leq k) = 2 \Phi(k) - 1 = 0,961 \]

Где \( \Phi(k) \) — функция распределения нормальной величины.

Решим уравнение:

\[ 2 \Phi(k) - 1 = 0,961 \implies \Phi(k) = \frac{0,961 + 1}{2} = 0,9805 \]

Из таблицы стандартного нормального распределения или по обратной функции \( \Phi^{-1} \):

\[ k \approx \Phi^{-1}(0,9805) \approx 2,05 \]

Шаг 3: Найти \(\sigma\)

Теперь:

\[ k = \frac{0,01}{\sigma} \implies \sigma = \frac{0,01}{k} = \frac{0,01}{2,05} \approx 0,004878 \text{ мм} \]

Шаг 4: Найти интересующую нас вероятность

Нам нужно найти:

\[ P(X < 74,99) + P(X > 75,01) \]

или через стандартных переменную \( Z \):

\[ P\left(Z < \frac{74,99 - 75}{\sigma}\right) + P\left(Z > \frac{75,01 - 75}{\sigma}\right) \]

Обратим внимание, что:

\[ \frac{74,99 - 75}{\sigma} = \frac{-0,01}{0,004878} \approx -2,05 \]

и

\[ \frac{75,01 - 75}{\sigma} = \frac{0,01}{0,004878} \approx 2,05 \]

Следовательно, искомая вероятность равна:

\[ P(Z < -2,05) + P(Z > 2,05) \]

По свойствам нормального распределения:

\[ P(Z < -2,05) = P(Z > 2,05) \]

и

\[ P(Z > 2,05) = 1 - \Phi(2,05) \]

Из стандартных таблиц:

\[ \Phi(2,05) \approx 0,9804 \]

Тогда

\[ P(Z > 2,05) \approx 1 - 0,9804 = 0,0196 \]

Итак,

\[ P(Z < -2,05) + P(Z > 2,05) \approx 2 \times 0,0196 = 0,0392 \]

Ответ:

Вероятность, что диаметр подшипника меньше 74,99 мм или больше 75,01 мм, составляет примерно 3,92%.