Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Средний диаметр подшипника ( \mu = 75 \text{ мм} )
- Вероятность, что отклонение диаметров от заданного не превышает 0,01 мм: ( P(|X - 75| \leq 0,01) = 0,961 )
- Необходимо найти вероятность того, что диаметр подшипника меньше 74,99 мм или больше 75,01 мм, то есть:
[
P(X < 74,99 \text{ мм} \text{ или } X > 75,01 \text{ мм})
]
Шаг 1: Определение вероятности по стандартной нормальнойDistribution
Заметим, что вероятности, связанные с отклонением, говорят нам о свойствах нормального распределения. Поскольку вероятность, что ( |X - 75| \leq 0,01 ), равна 0,961, можно считать, что ( X ) — нормально распределенная величина с математическим ожиданием ( \mu = 75 ).
Обозначим:
- Стандартное отклонение: ( \sigma )
- Стандартизируем переменную:
[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
]
Тогда
[
P(|X - 75| \leq 0,01) = P\left(-0,01 \leq X - 75 \leq 0,01\right) = P\left(-\frac{0,01}{\sigma} \leq Z \leq \frac{0,01}{\sigma}\right)
]
Обозначим:
[
k = \frac{0,01}{\sigma}
]
Тогда
[
P(-k \leq Z \leq k) = 0,961
]
Шаг 2: Найти ( k )
Параметр ( k ) — это такое, что площадь под стандартной нормальной кривой между ( -k ) и ( k ) равна 0,961.
Для стандартного нормального распределения:
[
P(-k \leq Z \leq k) = 2 \Phi(k) - 1 = 0,961
]
Где ( \Phi(k) ) — функция распределения нормальной величины.
Решим уравнение:
[
2 \Phi(k) - 1 = 0,961 \implies \Phi(k) = \frac{0,961 + 1}{2} = 0,9805
]
Из таблицы стандартного нормального распределения или по обратной функции ( \Phi^{-1} ):
[
k \approx \Phi^{-1}(0,9805) \approx 2,05
]
Шаг 3: Найти (\sigma)
Теперь:
[
k = \frac{0,01}{\sigma} \implies \sigma = \frac{0,01}{k} = \frac{0,01}{2,05} \approx 0,004878 \text{ мм}
]
Шаг 4: Найти интересующую нас вероятность
Нам нужно найти:
[
P(X < 74,99) + P(X > 75,01)
]
или через стандартных переменную ( Z ):
[
P\left(Z < \frac{74,99 - 75}{\sigma}\right) + P\left(Z > \frac{75,01 - 75}{\sigma}\right)
]
Обратим внимание, что:
[
\frac{74,99 - 75}{\sigma} = \frac{-0,01}{0,004878} \approx -2,05
]
и
[
\frac{75,01 - 75}{\sigma} = \frac{0,01}{0,004878} \approx 2,05
]
Следовательно, искомая вероятность равна:
[
P(Z < -2,05) + P(Z > 2,05)
]
По свойствам нормального распределения:
[
P(Z < -2,05) = P(Z > 2,05)
]
и
[
P(Z > 2,05) = 1 - \Phi(2,05)
]
Из стандартных таблиц:
[
\Phi(2,05) \approx 0,9804
]
Тогда
[
P(Z > 2,05) \approx 1 - 0,9804 = 0,0196
]
Итак,
[
P(Z < -2,05) + P(Z > 2,05) \approx 2 \times 0,0196 = 0,0392
]
Ответ:
Вероятность, что диаметр подшипника меньше 74,99 мм или больше 75,01 мм, составляет примерно 3,92%.
