Решить
Конечно! Вот подробное решение каждой задачи:
Задача 1
\[
y = \sqrt[6]{5x - 10}
\]
Нужно найти области определения функции.
Область определения — это все значения \(x\), при которых выражение под корнем существует, то есть \(\sqrt[6]{\dots}\) у нас — корень чётной степени, который определён для всех раиц чисел, поскольку шестой корень — это корень чётной степени.
Главное условие — выражение внутри корня должно быть ≥ 0 (так как шестой корень можно брать и из отрицательных чисел, но в случае с шестым корнем, вообще, область определения всех вещественных чисел, так как \(\sqrt[6]{x}\) определён для всех \(x\), но внутри у нас есть \(5x - 10\)).
Значит:
\[
5x - 10 \ge 0
\implies 5x \ge 10
\implies x \ge 2
\]
Ответ:
Область определения — \(x \ge 2\).
Из вариантов:
- (в) \(-\infty, 2\) — не подходит
- (г) \(2, +\infty\) — подходит.
Правильный ответ: г)
Задача 2
На изображении график функции.
Рассмотрим возможные графики.
- (а) — график с одной синусоидой со смещением;
- (б) — парабола вверх;
- (в) — парабола вниз.
На графике видно, что функция — это график параболы, открытой вверх (как \(x^2\) или какая-то подобная).
Ответ: Вариант (а) — график анимации, похоже, соответствует графику функции с параболическим видом.
Правильный ответ: (б) — график, изображающий параболу.
Задача 3
Доказать, что \(y = 5x^2 + 3x\) — не парабола (нельзя назвать), потому что:
- (а) — парная,
- (б) — непарная,
- (в) — ни парная, ни непарная.
Функция \(y = 5x^2 + 3x\) — квадратная, она является парной, если она симметрична относительно оси y (\(f(-x)=f(x)\)).
Проверим:
\[
f(-x) = 5(-x)^2 + 3(-x) = 5x^2 - 3x \neq f(x) \quad \Rightarrow \text{не парная}
\]
Также не является непарной, потому что:
\[
-f(x) = -5x^2 - 3x \neq f(-x)
\]
Значит — функции ни парная, ни непарная.
Ответ: (в) — ни парная, ни непарная.
Задача 4
Найти значение выражения: \((a^3)^4 \cdot a^{20} : a^9\)
Пользуемся свойствами степеней:
\[
(a^m)^n = a^{mn}
\]
\[
a^m \cdot a^n = a^{m+n}
\]
\[
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
\]
Вычислим:
\[
(a^3)^4 = a^{3 \times 4} = a^{12}
\]
Тогда:
\[
a^{12} \cdot a^{20} : a^9 = a^{12 + 20 - 9} = a^{23}
\]
Ответ: \(a^{23}\).
Ни один из вариантов не совпадает — вероятнее всего — ответ \(a^{23}\). Если предполагается найти только степень, то ответ — \(a^{23}\).
Задача 5
Упростить: \((m - n) \cdot (m^{0,5} - 0,5) \cdot m^{0,5}\)
Рассмотрим по частям:
Общий вид:
\[
(m - n) \cdot (m^{0,5} - 0,5) \cdot m^{0,5}
\]
можно оставить так, так как задачка на упрощение выражения. Или, возможно, в задаче нужен ответ в виде одной степени, тогда:
Раскроем скобки:
Нет, тут явно выражение умножается, потому что перемножение.
Ответ без дальнейших расчетов — это, скорее, упрощенное выражение, так как упрощения внутри нем нет.
Задача 6
Обчислити: \(\cos 330^\circ\)
Значения по тригонометрическим таблицам или основные свойства: \[ \cos 330^\circ = \cos (360^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] и так как косинус в четвертой четверти — положителен.
Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
среди вариантов — вариант (в) — \(\sqrt{3}/2\).
Задача 7
Знайти значення:
\[
\cos 60^\circ + \sin 30^\circ - \tg 45^\circ - \ctg 135^\circ + \cos 270^\circ
\]
Известные значения:
\[
\cos 60^\circ = \frac{1}{2} \quad
\sin 30^\circ = \frac{1}{2} \quad
\tg 45^\circ = 1 \quad
\ctg 135^\circ = -1 \quad
\cos 270^\circ = 0
\]
Подставим:
\[
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 - (-1) + 0 = 1 - 1 + 1 + 0 = 1
\]
Ответ: 1, вариант (б).
Если нужно, я могу помочь подробнее по любой задаче!
