решите задачу: Количество автомобилей в городе возрастает ежегодно на 3%. Через сколько лет количество автомобилей в этом городе увеличиться в 1,5 раза?
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Задача: Количество автомобилей в городе увеличивается на 3% ежегодно. За какое количество лет количество автомобилей увеличится в 1,5 раза?
Шаг 1: Определим известные данные
- Начальное количество автомобилей: пусть оно равно \( N_0 \).
- Процент ежегодного увеличения: 3% = 0,03.
- Требуемое увеличение: в 1,5 раза, то есть конечное количество должно быть \( 1,5 \times N_0 \).
Шаг 2: Запишем формулу роста
Если количество автомобилей увеличивается ежегодно на 3%, то через \( t \) лет количество автомобилей будет равно:
\[ N = N_0 \times (1 + 0,03)^t \]
где:
- \( N \) — количество автомобилей после \( t \) лет,
- \( N_0 \) — начальное количество автомобилей.
Нам нужно найти \( t \), при котором \( N = 1,5 \times N_0 \):
\[ 1,5 \times N_0 = N_0 \times (1,03)^t \]
Шаг 3: Сократим уравнение
Разделим обе части на \( N_0 \):
\[ 1,5 = (1,03)^t \]
Шаг 4: Решаем уравнение
Теперь нужно найти \( t \) из уравнения:
\[ (1,03)^t = 1,5 \]
Для этого используем логарифмы:
\[ t = \frac{\ln 1,5}{\ln 1,03} \]
Шаг 5: Вычислим значение \( t \)
Используем таблицы логарифмов или калькулятор:
\[ \ln 1,5 \approx 0,4055 \] \[ \ln 1,03 \approx 0,02956 \]
Следовательно,
\[ t \approx \frac{0,4055}{0,02956} \approx 13,71 \]
Ответ:
Через примерно 13,7 лет количество автомобилей в городе увеличится в 1,5 раза.
Если нужно — могу привести дополнительные пояснения или помочь с подобными задачами!
