Вычислите площадь участка стола отведённого для презентации работ дизайнера Василия периметр которого ограничиваются линиями у=х²-2х-2 и у=-х²+2

Давайте разберём задачу подробно. **Итак, нам нужно найти площадь участка стола, ограниченного графиками двух линий:** 1. \( y = x^2 - 2x - 2 \) 2. \( y = -x^2 + 2 \) --- ## Шаг 1. Построение графиков Это квадратичные функции. Постараемся понять, как они выглядят и где они пересекаются. --- ## Шаг 2. Нахождение точек пересечения Чтобы определить область, ограниченную этими линиями, найдём точки пересечения — решим уравнение: \[ x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \] Переносим все члены в одну сторону: \[ x^2 - 2x - 2 + x^2 - 2 = 0 \] Но аккуратнее — лучше оставить уравнение в исходной форме: \[ x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \] Перенесём все в левую сторону: \[ x^2 - 2x - 2 + x^2 - 2 = 0 \] Я ошибся — лучше переформулируем: \[ x^2 - 2x - 2 + x^2 - 2 = 0 \] Это некорректно — давайте проще: \[ x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \] Добавим \(x^2\) и \(2\) к обеим сторонам: \[ x^2 + x^2 - 2x - 2 - 2 = 0 \] Или: \[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \] Разделим всё на 2 для упрощения: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Это квадратичное уравнение. Решим его: Дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9 \] Корни: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Получаем два корня: - \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \) - \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) --- ## Шаг 3. Определение области Область ограничена графиками функций на промежутке между \( x = -1 \) и \( x= 2 \). Чтобы понять, какая функция сверху, а какая снизу: Проверьте значение \(y\) для точки, скажем, \(x=0\): - \( y_1 = 0^2 - 2 \times 0 - 2 = -2 \) - \( y_2 = -0^2 + 2 = 2 \) Значит, в точке \(x=0\), график \( y = -x^2 + 2 \) выше. Следовательно, сверху — это линия \( y = -x^2 + 2 \), снизу — \( y = x^2 - 2x - 2 \). --- ## Шаг 4. Запись интеграла Площадь области — это интеграл разницы функций на промежутке от \(x=-1\) до \(x=2\): \[ S = \int_{-1}^{2} \left[ (-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2) \right] dx \] Упростим выражение внутри интеграла: \[ (-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2) = -x^2 + 2 - x^2 + 2x + 2 = (-x^2 - x^2) + (2x) + (2 + 2) = -2x^2 + 2x + 4 \] Итак, \[ S = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx \] --- ## Шаг 5. Вычисление интеграла Посчитаем его по частям: \[ S = \int_{-1}^2 (-2x^2) dx + \int_{-1}^2 (2x) dx + \int_{-1}^2 4 dx \] 1. \(\int -2x^2 dx = -2 \times \frac{x^3}{3} = - \frac{2}{3} x^3\) 2. \(\int 2x dx = x^2\) 3. \(\int 4 dx = 4x\) Подставим пределы и найдём сумму: \[ S = \left[ -\frac{2}{3} x^3 \right]_{-1}^{2} + \left[ x^2 \right]_{-1}^{2} + \left[ 4x \right]_{-1}^{2} \] Вычислим каждое: - \(\left[ -\frac{2}{3} x^3 \right]_{-1}^{2} = - \frac{2}{3} (2)^3 - \left(-\frac{2}{3} (-1)^3 \right) = - \frac{2}{3} \times 8 - \left(- \frac{2}{3} \times -1 \right) = - \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = - \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = - \frac{18}{3} = -6 \) - \(\left[ x^2 \right]_{-1}^{2} = 2^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 \) - \(\left[ 4x \right]_{-1}^{2} = 4 \times 2 - 4 \times (-1) = 8 + 4 = 12 \) Суммируем: \[ S = -6 + 3 + 12 = 9 \] --- ## **Ответ:** **Площадь ограниченной области равна \(\boxed{9}\) квадратным единицам.** --- Если есть дополнительные вопросы или нужны пояснения, я с радостью помогу!