Вычислите площадь участка стола отведённого для презентации работ дизайнера Василия периметр которого ограничиваются линиями у=х²-2х-2 и у=-х²+2
Давайте разберём задачу подробно.
Итак, нам нужно найти площадь участка стола, ограниченного графиками двух линий:
- \( y = x^2 - 2x - 2 \)
- \( y = -x^2 + 2 \)
Шаг 1. Построение графиков
Это квадратичные функции. Постараемся понять, как они выглядят и где они пересекаются.
Шаг 2. Нахождение точек пересечения
Чтобы определить область, ограниченную этими линиями, найдём точки пересечения — решим уравнение:
\[ x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \]
Переносим все члены в одну сторону:
\[ x^2 - 2x - 2 + x^2 - 2 = 0 \]
Но аккуратнее — лучше оставить уравнение в исходной форме:
\[ x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \]
Перенесём все в левую сторону:
\[ x^2 - 2x - 2 + x^2 - 2 = 0 \]
Я ошибся — лучше переформулируем:
\[ x^2 - 2x - 2 + x^2 - 2 = 0 \]
Это некорректно — давайте проще:
\[ x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \]
Добавим \(x^2\) и \(2\) к обеим сторонам:
\[ x^2 + x^2 - 2x - 2 - 2 = 0 \]
Или:
\[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \]
Разделим всё на 2 для упрощения:
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]
Это квадратичное уравнение. Решим его:
Дискриминант:
\[ D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9 \]
Корни:
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Получаем два корня:
- \( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)
- \( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)
Шаг 3. Определение области
Область ограничена графиками функций на промежутке между \( x = -1 \) и \( x= 2 \).
Чтобы понять, какая функция сверху, а какая снизу:
Проверьте значение \(y\) для точки, скажем, \(x=0\):
- \( y_1 = 0^2 - 2 \times 0 - 2 = -2 \)
- \( y_2 = -0^2 + 2 = 2 \)
Значит, в точке \(x=0\), график \( y = -x^2 + 2 \) выше. Следовательно, сверху — это линия \( y = -x^2 + 2 \), снизу — \( y = x^2 - 2x - 2 \).
Шаг 4. Запись интеграла
Площадь области — это интеграл разницы функций на промежутке от \(x=-1\) до \(x=2\):
\[ S = \int_{-1}^{2} \left[ (-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2) \right] dx \]
Упростим выражение внутри интеграла:
\[ (-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2) = -x^2 + 2 - x^2 + 2x + 2 = (-x^2 - x^2) + (2x) + (2 + 2) = -2x^2 + 2x + 4 \]
Итак,
\[ S = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx \]
Шаг 5. Вычисление интеграла
Посчитаем его по частям:
\[ S = \int_{-1}^2 (-2x^2) dx + \int_{-1}^2 (2x) dx + \int_{-1}^2 4 dx \]
- \(\int -2x^2 dx = -2 \times \frac{x^3}{3} = - \frac{2}{3} x^3\)
- \(\int 2x dx = x^2\)
- \(\int 4 dx = 4x\)
Подставим пределы и найдём сумму:
\[ S = \left[ -\frac{2}{3} x^3 \right]_{-1}^{2} + \left[ x^2 \right]_{-1}^{2} + \left[ 4x \right]_{-1}^{2} \]
Вычислим каждое:
\(\left[ -\frac{2}{3} x^3 \right]_{-1}^{2} = - \frac{2}{3} (2)^3 - \left(-\frac{2}{3} (-1)^3 \right) = - \frac{2}{3} \times 8 - \left(- \frac{2}{3} \times -1 \right) = - \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = - \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = - \frac{18}{3} = -6 \)
\(\left[ x^2 \right]_{-1}^{2} = 2^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 \)
\(\left[ 4x \right]_{-1}^{2} = 4 \times 2 - 4 \times (-1) = 8 + 4 = 12 \)
Суммируем:
\[ S = -6 + 3 + 12 = 9 \]
Ответ:
Площадь ограниченной области равна \(\boxed{9}\) квадратным единицам.
Если есть дополнительные вопросы или нужны пояснения, я с радостью помогу!
