вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками следующих функций у =х3; y=0; x=2; x=3. выполните чертеж.
Давайте подробно разберемся с задачей.
Задача:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
- \( y = x^3 \)
- \( y = 0 \) (ось абсцисс)
- вертикальными линиями \( x = 2 \) и \( x = 3 \).
Шаг 1: Определение области
Область — это площадь между графиком функции \( y = x^3 \) и осью \( y = 0 \) (то есть между кривой и осью абсцисс), ограниченная прямыми \( x=2 \) и \( x=3 \).
Такая фигура — это участок под кривой \( y=x^3 \) на интервале \( [2, 3] \).
Шаг 2: Записываем выражение для площади
Площадь этой области вычисляется методом интегрирования: \[ S = \int_{x=2}^{x=3} y \, dx \] где \( y = x^3 \).
Значит, \[ S = \int_{2}^{3} x^3 \, dx \]
Шаг 3: Решение интеграла
Рассчитаем: \[ \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C \]
Следовательно, площадь равна: \[ S = \left[\frac{x^4}{4}\right]_2^3 \]
Подставляем значения: \[ S = \frac{3^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{16}{4} = \frac{81 - 16}{4} = \frac{65}{4} \]
Ответ:
Площадь фигуры равна \(\displaystyle \frac{65}{4}\) квадратных единиц, или 16,25.
Дополнительно: чертеж
Если нужно выполнить график и показать ограничивающие линии:
- Построить график функции \( y = x^3 \).
- Провести вертикальные линии \( x=2 \) и \( x=3 \).
- Отметить точку \( (2, 8) \) и \( (3, 27) \).
- Область — это участок под кривой между этими линиями.
Если понадобится, я могу предложить пример схемы или график, но теория выше достаточно для понимания задачи.
