Давайте подробно разберемся с задачей.
Задача:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
- ( y = x^3 )
- ( y = 0 ) (ось абсцисс)
- вертикальными линиями ( x = 2 ) и ( x = 3 ).
Шаг 1: Определение области
Область — это площадь между графиком функции ( y = x^3 ) и осью ( y = 0 ) (то есть между кривой и осью абсцисс), ограниченная прямыми ( x=2 ) и ( x=3 ).
Такая фигура — это участок под кривой ( y=x^3 ) на интервале ( [2, 3] ).
Шаг 2: Записываем выражение для площади
Площадь этой области вычисляется методом интегрирования:
[
S = \int_{x=2}^{x=3} y , dx
]
где ( y = x^3 ).
Значит,
[
S = \int_{2}^{3} x^3 , dx
]
Шаг 3: Решение интеграла
Рассчитаем:
[
\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C
]
Следовательно, площадь равна:
[
S = \left[\frac{x^4}{4}\right]_2^3
]
Подставляем значения:
[
S = \frac{3^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{16}{4} = \frac{81 - 16}{4} = \frac{65}{4}
]
Ответ:
Площадь фигуры равна (\displaystyle \frac{65}{4}) квадратных единиц, или 16,25.
Дополнительно: чертеж
Если нужно выполнить график и показать ограничивающие линии:
- Построить график функции ( y = x^3 ).
- Провести вертикальные линии ( x=2 ) и ( x=3 ).
- Отметить точку ( (2, 8) ) и ( (3, 27) ).
- Область — это участок под кривой между этими линиями.
Если понадобится, я могу предложить пример схемы или график, но теория выше достаточно для понимания задачи.
